逻辑常数（三）

会被视为逻辑常数（Gómez-Torrente 2002, 21），假设不存在男性寡妇是认识论上的必然。解决这个问题可能很诱人，我们或许会诉诸一种独特的逻辑模态——例如，要求逻辑常数具有置换不变的外延，这是逻辑必然性的问题。但这样一来，我们就是在用一个晦涩的原始逻辑必然性概念来解释逻辑常数的概念，而我们无法通过引用逻辑常数来解释它，否则会造成循环论证。 （McCarthy 1998，§3 明确地诉诸逻辑可能性，并注意到此处循环论证的威胁。）

McGee 的策略是援引语义概念而非模态概念：他认为“一个连接词是逻辑连接词，当且仅当它从连接词的含义可知，它在任意双射下都是不变的”（McGee 1996，578）。但这种方法，与 McCarthy 的方法一样，似乎将“%”视为逻辑常数。并且，与 McCarthy 的方法一样，它需要诉诸一个似乎并不比逻辑常数的概念更清晰的概念：即（逻辑地？）从连接词的含义中得出的概念。

Sher 对这一反对意见的回应与 McGee 或 McCarthy 的回应截然不同。她认为“逻辑术语与其（实际的）外延相一致”，因此“#”、“%”和“¬”只是同一术语的不同符号。更准确地说：如果这些表达式的使用方式与逻辑常数相同——作为其语义值的严格指示符[19]——那么它们就可以与布尔否定运算相一致，从而彼此相一致。“作为量词，‘行星的数量’和‘9’是无法区分的”（Sher 1991, 64）。但 Sher 说逻辑术语可以与其外延相一致，其含义尚不清楚。我们通常会根据理解连接词的条件或使用规则，而不是根据它们所表达的真值函数，有意地区分它们。例如，我们认识到“&”与“@”之间存在区别，前者定义为

⌜ϕ&ψ⌝ 在赋值 a 上为真，前提是 ϕ 在 a 上为真且 ψ 在 a 上为真；

后者定义为

⌜ϕ @ ψ⌝ 在赋值 a 上为真，前提是 ϕ 在 a 上不为真或 ψ 在 a 上不为真，

即使它们表达的是相同的真值函数。正如 Sher 所暗示的那样，如果我们将它们用作它们所表达的真值函数的固定指示符，那么这些术语之间的区别并不会被消除。 （“金星”、“磷星”和“我在 2004 年 11 月 1 日早晨在地平线附近实际看到的行星”都严格指金星，但这并不意味着它们具有相同的含义。) 因此，Sher 的提议只能理解为这样一种规定：如果一对共指的刚性指示符中的一个算作逻辑常数，则另一个也算作逻辑常数。但我们为何要接受这一规定尚不清楚。它肯定会产生一些违反直觉的后果：例如，“P∨#P”是一个逻辑真理，至少在“#”被严格使用时是如此（参见 Gómez-Torrente 2002, 19，以及 Sher 2003 的回应）。

从这些讨论中，我们很难不得出结论：置换不变性准则充其量只是给出了逻辑恒常性的必要条件。它的主要缺点在于它在指称层面而非意义层面运作；它关注的是常数所表达的逻辑运算，而不是它们的意义。因此，人们可以预期，一个适当的准则应该在意义层面运作，或许会关注我们理解逻辑常数意义的方式。

6. 推理特征

在主题中立性部分的结尾，我们区分了两种主题中立性的概念。第一个概念——对个体显著特征的不敏感性——可以通过置换不变性标准有效地捕捉。我们如何捕捉第二个概念——对所有思想或推理的普遍适用性，无论其主题是什么？我们可以首先确定任何被视为思想或推理的事物中都必须存在的某些要素，然后将任何仅凭这些要素就能理解的表达归类为逻辑表达。这将确保逻辑常数与思想或推理本身之间存在一种特殊的联系，这种联系可以解释逻辑的普遍适用性。

沿着这条思路，有人提出，逻辑常数就是那些可以用一组纯粹推理的引入和消除规则来表征的表达式。[20] 例如，要理解连词“&”的含义，只需知道它受以下规则支配即可：

A,B

A&B

A&B

A

A&B

B

因此，任何理解推理规则中水平线意义的人都能理解“&”的含义。（对比上一节中的“%”，任何不理解男性和寡妇含义的人都无法理解它。）任何具有清晰思维或推理能力的人都应该能够理解这些推理规则，因此也应该能够理解“&”的含义。或者说，思路就是这样。[21]

为了使该提议精确，我们必须做出一些额外的决定：

我们必须决定是使用自然演绎规则还是后继规则。（参见证明理论的发展条目。）

如果我们选择使用后继规则，我们必须决定是否允许“子结构”（参见子结构逻辑条目），以及是否允许后继规则中存在多个结论。我们还必须支持一组特定的纯结构规则（本质上不涉及任何语言表达的规则）。

我们必须明确是引入规则、消去规则，还是两者兼而有之，来刻画逻辑常数的含义。[22]（在后继规则的表述中，我们必须区分左右引入和消去规则。）

我们必须在规则中允许子命题结构，以便为量词规则腾出空间。我们必须明确指出，引入或消除规则何时算作“纯推理的”，才能排除如下规则：

a 为红色

Ra

A,B,水为 H2O

A∗B

最严格的标准是，只允许除被刻画的常数的单个实例外，每个符号要么是结构性的（如逗号），要么是示意性的（如“A”）。但是，尽管合取的标准规则满足此条件，但否定的自然演绎引入规则却不满足此条件。该规则必须使用另一个逻辑常数（“⊥”）或与被引入的否定符号不同的另一个实例。因此，必须放宽“纯推理的”条件，或添加更多结构（尤其参见 Belnap 1982）。

不同版本的推理刻画方法对这些事项做出了不同的判断，这些差异会影响哪些常数被认定为“逻辑的”。例如，如果我们使用单结论后件，并采用标准常量规则，我们会得到直觉主义联结词；而如果我们使用多结论后件，我们会得到经典联结词（Kneale 1956, 253）。如果我们采用Došen对可接受规则的约束（Došen 1994, 280），S4必要性算子就会被算作逻辑常量；而如果我们采用Hacking的约束，则不会算作逻辑常量（Hacking 1979, 297）。因此，如果我们想要以原则性的方式解决这些难题，就必须阐明所有能够区分我们版本的推理表征方法与其他方法的决策动机。然而，在这里，我们将避免讨论这些细节问题，而是专注于基本思想。其基本思想是，逻辑常量与其他类型的表达式的区别在于，它们能够根据纯推理规则“刻画”。但“刻画”在这里究竟意味着什么呢？正如戈麦斯-托伦特（Gómez-Torrente，2002，29）所观察到的，它或许可以被理解为需要指称（语义值）的确定或意义的确定：

语义值确定：一个常量 c 可被规则 R 刻画，当且仅当它受规则 R 支配，且在给定某些语义背景假设的情况下，足以确定其指称或语义值（例如，它所表达的真值函数）（Hacking，1979，299，313）。

意义确定：常数 c 可用规则 R 刻画，当且仅当它受规则 R 支配足以确定其意义：也就是说，只需了解 c 受规则 R 支配，即可掌握其意义 (Popper 1946–7, 1947; Kneale 1956, 254–5; Peacocke 1987; Hodes 2004, 135)。

让我们依次考虑这两种推理刻画方法。

6.1 语义值确定

Hacking 证明，给定某些背景语义假设（二值性、有效推理保留真值），任何满足某些证明论条件（子公式性质、Cut、Identity 和 Weakening 消去定理的可证明性）的引入和消去规则，都将唯一地确定它们所支配的常数的语义 (Hacking 1979, 311–314)。正是在这个意义上，这些规则“确定了常量的意义”：“它们是这样的：如果做出一般性的强语义假设，那么各个逻辑常量的具体语义就由此确定。”（313）

在定义明确的语义框架中，语义值的确定概念至少是清晰的——这与一般意义上的意义确定概念不同。然而，正如戈麦斯-托伦特 (Gómez-Torrente) 指出的那样，由于专注于指称（或语义值）的确定而非意义的确定，哈金 (Hacking) 面临着与我们上文讨论的置换不变性方法的反对意见类似的反对意见（另见 Sainsbury 2001, 369）。考虑量词“W”，其含义为“并非对所有非……，若所有非……皆为男性寡妇；以及对所有非……，若所有非……皆为男性寡妇”（Gómez-Torrente 2002, 29）。（此处需要注意的是，“W”是该语言的原始符号，而非由“∀”、“¬”、“男性”和“寡妇”等定义引入的符号。）由于不存在男性寡妇，“W”的语义值与我们的普通量词“∃”相同。 （如上所述，我们可以将量词的语义值视为从赋值集到赋值集的函数。）现在令 R 为“∃”的标准引入和消去规则，令 R′ 为在这些规则中用“W​​”替换“∃”的结果。显然，R′ 的“纯推理性”并不比 R 差。如果 R 为“∃”确定了一个语义值，那么 R′ 也为“W”确定了一个语义值——完全相同的语义值。因此，如果逻辑常量是其语义值可以通过纯推理引入和消去规则确定的表达式，那么当且仅当“∃”算作逻辑常量时，“W”才算作逻辑常量。

然而，直观地看，这些常量之间存在一个重要的区别。我们可以这样描述：学习规则 R 足以完全掌握“∃”，而学习规则 R′ 则无需完全理解“W”的含义。要理解“W”，就必须了解人类的婚姻制度，这也解释了为什么我们认为“W”不够“中立”，不足以成为一个逻辑常数。然而，如果我们仅讨论指称或语义值，则无法辨别“W”和“∃”之间的这种差异；这是两个表达式含义上的差异。

6.2 含义确定

引入和/或消去规则确定逻辑常数含义的想法，通常是由这些规则定义常数的说法所引发的。Gentzen 指出，自然演绎规则“可以说代表了相关符号的‘定义’，而消去规则最终不过是这些定义的结果”（1935，§5.13；1969，80）。然而，真正的定义允许常数从其出现的每个上下文中被消去（参见“定义”条目），而逻辑常数的引入和消去规则通常不允许这样做。例如，在直觉主义的相继式演算中，不存在不包含“→”的相继式（或相继式群）等价于相继式“A→B⊢C”。因此，Kneale (1956, 257) 仅表示我们可以将规则“视为”定义；Hacking (1979) 认为规则“并非定义，而仅仅是刻画逻辑常数”；Došen (1994) 则认为规则仅提供“分析”，而非定义。[23]

然而，即使规则并非“定义”，它们“固定了其引入常数的意义”的说法仍有其道理。因为说话者对常数含义的理解可能在于她对这些规则的掌握：她倾向于接受符合规则的推论，认为其“原始令人信服”（Peacocke 1987，Hodes 2004）。（说话者认为一种推理形式本质上令人信服，仅仅因为她认为它令人信服，并且不认为其正确性需要外部认可，例如通过推理。）如果逻辑常数的含义以这种方式根据其掌握条件进行个体化，我们就可以区分具有不同含义的真值功能等价常数，例如“∨”、“‡”和“†”，定义如下：

A∨B A 或 B

A‡B 不同时非 A 且非 B

A†B（A 或 B）且没有寡妇是男性

要理解“∨”，必须发现标准引入规则本质上令人信服：

A

A∨B

B

A∨B

要理解“‡”，必须发现以下消除规则本质上令人信服：

¬A,¬B,A‡B

C

最后，要理解“†”的含义，必须发现这些引入规则本质上令人信服：

A, 没有寡妇是男性

A†B

B，没有寡妇是男性

A†B

“∨”和“‡”将算作逻辑常数，因为它们的语义构成规则是纯推理的；而“†”则不算，因为它的规则并非纯推理的。（同样，我们可以区分“∃”和“W”。）请注意，(15) 的适当改写版本也适用于“‡”和“†”；区别在于，人们可以理解“‡”和“†”（但不能理解“∨”），而不会觉得这些规则本身就令人信服 (Peacocke 1987, 156; cp. Sainsbury 2001, 370-1)。

一些批评家怀疑，逻辑常数的引入和消去规则是否涵盖了理解这些常数必须掌握的用法方面。例如，有人提出，为了掌握条件量词和全称量词，人们必须倾向于将某些类型的归纳证据作为断言条件和全称量词的依据 (Dummett 1991, 275–8; Gómez-Torrente 2002,26–7；Sainsbury 2001，370–1）。尚不清楚这些额外的使用方面是否可以用“纯推理”规则来捕捉，或者它们是否可以从可以如此捕捉的使用方面推导出来。

有时人们认为，Prior（1960）关于连接词“tonk”的例子，

A

A tonk B

A tonk B

B

其规则允许从任何事物推断出任何事物，这果断地驳斥了逻辑常数的意义由其引入和/或消去规则所固定的观点。然而，尽管Prior的例子（Popper 1946–7，284中有所提及）确实表明并非所有引入和消去规则都能为逻辑常数确定连贯的意义，但它并未表明没有规则能够做到这一点，也未表明逻辑常数的意义以这种方式确定并不具有独特性。有关阐明引入规则和消去规则在何种条件下能够确定含义的尝试，请参阅 Belnap (1962)、Hacking (1979, 296-298)、Kremer (1988, 62-6) 和 Hodes (2004, 156-157)。

Prawitz (1985; 2005) 认为，任何形式上合适的引入规则都可以确定逻辑常数的含义。在 Prawitz 看来，我们从 Prior 那里学到的教训是，我们不能同时规定消去规则，而必须通过证明存在一种程序，可以将消去规则前提的任何直接证明重新排列成结论的直接证明，从而证明任何提出的消去规则的合理性。因此，我们可以规定“tonk”的引入规则，但随后必须满足于存在此类程序的最强消去规则：

A tonk B

A

.

其他哲学家不同意 Prawitz（和 Gentzen）的观点，即引入规则在确定常数的含义方面具有优先权，但保留以下观点：确定常数含义的引入规则和消除规则必须协调一致：消除规则不得允许我们从复合句中推断出超出相应引入规则前提所证明的内容 (Dummett 1981, 396; Tennant 1987, 76-98)。（关于各种协调性概念的分析，以及它们与可规范化性和保守性等概念的关系，参见 Milne 1994、Read 2010 和 Steinberger 2011。）

7. 语用学划界

迄今为止，我们研究过的关于逻辑常数划界的提议都是分析性的划界。它们试图将某些受人青睐的属性（语法粒子性、主题中立性、置换不变性、推理规则的可刻画性等）确定为表达式成为逻辑常数的必要充分条件。一种根本不同的划分常量的策略是从逻辑的功能描述入手，并将常量识别为完成该功能所必需的表达式。例如，我们可以从这样的观点出发：逻辑的功能是充当“科学理论演绎系统化的框架”（Warmbrod 1999, 516），或者表征数学结构并表示数学推理（Shapiro 1991），或者“在一种语言中明确地表达该语言使用的特征，这些特征赋予状态、态度、行为和表达以概念内容，而这些状态、态度、行为和表达的意义受这些实践的支配”（Brandom 1994, xviii）。我们将这种划分称为实用划分。

这两种划分之间存在一些非常普遍的区别。与分析划分不同，实用主义的划分遵循着沃姆布罗德所谓的“极简主义要求”：

……逻辑理论应该尽可能简单，假设尽可能适度，并且考虑到提供适用于系统化项目的概念工具的目标，尽可能灵活。在实践中，极简主义的约束要求被识别为逻辑常数的术语集应该尽可能小。(Warmbrod 1999, 521)

或者，用哈曼更简洁的表述：“只在必要时才将其视为逻辑”(Harman 1972, 79)。 Warmbrod 以此约束论证身份理论并非逻辑的一部分，理由是它无需完成他所指出的逻辑工作：“我们可以通过只将真值函项连接词和一阶量词视为常量，将‘=’视为普通谓词，并采用适当的身份公理，来系统化同一组句子”(521；另见 Quine 1986, 63, 1980, 28)。基于类似理由，Harman 和 Warmbrod 都认为模态算子不应被视为逻辑的一部分。[24] 他们的观点并非身份理论或模态算子缺乏一阶量词和真值函项算子所具备的某些特征，而仅仅是，既然我们可以不将这些概念视为逻辑的一部分，那么我们就应该这样做。 Warmbrod 和 Tharp 甚至探讨了将真值函项逻辑视为逻辑整体，并将量化理论视为非逻辑理论的可能性（Warmbrod 1999, 525；Tharp 1975, 18），尽管两人都出于实用主义的考虑而拒绝了这种想法。

实用主义的划分力求将逻辑性最小化，而分析性的划分则具有包容性。它们将任何具有优先属性的表达式都视为逻辑表达式。一个表达式是否出于特定目的的需要根本不重要：它的逻辑性取决于它所具有的特性，而与我们可能将其用于的任何用途无关。

与此相关，实用主义方法往往注重整体性。由于整个逻辑系统可以被评估为足以或不足以完成逻辑所赋予的“任务”，因此系统的属性往往在实用主义的划分中得到强调。例如，Wagner (1987, 10–11) 援引了林德斯特罗姆定理——即一阶逻辑是唯一既完备又紧致，并且满足勒文海姆-斯科伦定理的逻辑——来论证逻辑应该局限于一阶逻辑；Kneale 和 Kneale (1962, 724, 741) 援引了哥德尔不完备性定理来达到类似的效果。虽然分析性划界的理念并不排除诉诸整体系统的属性，但分析性划界倾向于诉诸特定表达式的局部属性，而非整体的系统属性。

最后，从实用性划界的角度来看，逻辑的认定可能取决于科学和数学理论的现状。如果科学的进步导致科学演绎系统化（或任何逻辑所偏爱的任务）所需的资源增加或减少，那么逻辑的认定也会随之改变 (Warmbrod 1999, 533)。相比之下，从分析性划界的角度来看，特定资源是否合乎逻辑仅取决于它们是否具有所偏爱的属性。如果它们不具备，并且事实证明它们是理论演绎系统化所必需的，那么正确的结论是，仅靠逻辑不足以完成这项任务。