逻辑常数（二）

blah blah blah，而不是 blah blah blah，因为 blah blah blah 应该是 blah blah blah，而且一直都是 blah blah blah。但每个 blah blah 都是 blah blah，尽管少数 blah blah 可能是 blah blah。

我知道这段话是关于什么的吗？嗯，我肯定知道一些线索。“因为”表明这段话是关于因果关系或解释关系的。“它”表明这段话至少是关于一个未知的、并非人的对象。时态操作符“一直”表明它是关于时间中发生的事件的。“可能是”表明它是关于可能（或未知）的领域，而不仅仅是实际（或已知）的领域。最后，“每个”和“一些”表明它涉及离散的、可数的对象。或许其中一些词并非主题中立，不应纳入逻辑范畴，但我们当然不想排除所有这些词。而赖尔的标准并没有给出如何划定界限的指导。人们甚至可能怀疑根本没有界限，主题中立只是一个程度问题，真值函数表达式比量词更主题中立，量词比时态和情态运算符更主题中立，时态和情态运算符又比认知表达式更主题中立，等等（Lycan 1989）。

赖尔解释的问题在于它依赖于模糊且不明确的“关于性”论述。如果我们对一个陈述关于特定对象或主题的含义有一个精确的哲学解释，那么我们可以将主题中立的陈述定义为不涉及任何事物的陈述——或者，也许，一个与一切事物都无关的命题。在此，我们或许可以借鉴纳尔逊·古德曼关于“绝对关于性”的经典论述，该论述暗示逻辑真理并非绝对地关于任何事物（1961, 256），或者借鉴大卫·刘易斯（1988）关于命题关于某一特定主题的论述，该论述暗示逻辑真理与所有主题都无关。然而，这两种论述都不适合我们的目的。根据古德曼的论述，“一个陈述绝对关于什么，部分取决于其预设的逻辑”，从而取决于哪些表达式被视为逻辑常数（253-4），所以在划分逻辑常数时援引古德曼关于关于性的论述是循环论证。根据刘易斯的论述，所有必然为真的命题最终都是主题中立的。但如果在划分逻辑时援引主题中立性有任何意义，那大概是为了将逻辑真理与更广泛的必然命题区分开来，其中一些命题是特定于主题的。如果我们愿意拓展逻辑的界限，使其涵盖所有必然命题（或者，所有分析语句），那么我们不妨将逻辑划分为必然真理（或者，分析真理）的领域。只有当我们想要区分逻辑与一般必然命题，或者在完全不诉诸模态概念的情况下划分逻辑时，我们才需要援引主题中立性。而在这两种情况下，刘易斯的“关于性”标准都无济于事。

我们拒绝了赖尔的主题中立性标准，因为它诉诸于一个尚未明确的“关于性”概念。我们拒绝了古德曼对“关于性”的阐释，因为它假定逻辑与非逻辑之间的界限早已划定。我们也拒绝了刘易斯对“关于性”的论述，因为它没有区分逻辑真理与其他类型的必然真理。否则，我们该如何兑现“逻辑并非关于任何特定事物”这一观点呢？文献中主要有两种方法。

第一种方法基于这样一种观点：一个表达式之所以特定于某个领域或主题，是因为它能够区分不同的个体。例如，单子谓词“是一匹马”，二元谓词“比……高”，以及量词“所有动物”都区分了“幸运的脚”和“自由女神像”：

“幸运的脚是一匹马”为真；“自由女神像是一匹马”为假。

“自由女神像比幸运的脚高”为真； “幸运的脚比自由女神像高”是假的。

“所有动物都是健康的”的真值取决于幸运的脚是否健康，而不取决于自由女神像是否健康。

另一方面，一元谓词“是一个事物”、二元谓词“与……相同”和量词“一切”并不区分幸运的脚和自由女神像。事实上，它们并不区分任何两个特定的对象。对它们而言，一个对象与另一个对象一样好，甚至可以互换。这种对对象特定身份漠不关心的表达式可以合理地被称为主题中立的。正如我们将在下一节中看到的，这种主题中立的概念可以用数学上精确的方式兑现为在域的任意排列下的不变性。正是在这个意义上，算术和集合论的基本概念并非主题中立，因为它们将某些对象（空集、数字0）与其他对象区分开来。

第二种途径将逻辑的主题中立性定位于其普遍适用性。基于这种理念，逻辑可用于指导和批判任何主题的推理——无论是自然的还是人造的、有生命的还是无生命的、抽象的还是具体的、规范的还是描述的、感性的还是仅仅是概念性的——因为它以某种方式与思考或推理的条件紧密相关。这种主题中立的概念与刚才讨论的概念并不等同。它允许一门拥有自己专有对象领域的科学，例如算术或集合论，由于其完全普遍的适用性，仍然可以算作主题中立的。因此，弗雷格认为算术是关于数字的，他认为数字是真正的对象，但他仍然可以肯定算术的绝对主题中立性：

……算术所基于的基本命题不能仅仅适用于一个有限的领域，这些领域的特点就像几何公理表达空间特性一样；相反，这些基本命题必须扩展到一切可以思考的事物。我们当然有理由将这些极其普遍的命题归于逻辑。（1885, 95，载于 Frege 1984；更多讨论，参见 MacFarlane 2002）

将逻辑常数划分为可以用纯粹推理的引入和消去规则表征的表达式的传统，可以被视为一种捕捉这种完全普遍适用性概念的方式。因为，似乎，逻辑常数可以用思维或推理的基本概念（例如有效推理）来刻画，这一事实解释了它们的普遍适用性。

我们一开始遇到的矛盾现在可以通过消歧来解决。算术和集合论对对象进行区分，因此在第一种意义上它们并非主题中立的，但它们在第二种意义上可能仍然是主题中立的，因为它们普遍适用于任何主题的推理。我们仍然面临着一个问题：在这些主题中立的概念中，哪一个是逻辑所独有的。不过，让我们先把这个问题推迟到更深入地考察这两个概念之后再讨论。

5. 置换不变性

许多哲学家认为，逻辑常数的独特之处在于它们对对象的特定身份不敏感，或者更准确地说，它们在对象定义域的任意置换下都保持不变性 (Mautner 1946; Mostowski 1957, 13; Scott 1970, 160–161; McCarthy 1981, 1987; Tarski 1986; van Benthem 1989; Sher 1991, 1996; McGee 1996)。

让我们稍微解释一下这句话。对象集合的置换是从该集合到自身的一对一映射。每个对象都会映射到集合中的一个对象（可能是它自己），并且没有两个对象会映射到同一个对象。例如，以下映射是字母表前五个字母的排列：

A ⇒C

B ⇒B

C ⇒E

D ⇒A

E ⇒D

函数 f(x)=x+1 是整数集到其自身的排列。（但请注意，排列不必像第一个例子那样通过枚举指定，也不必像第二个例子那样通过规则指定。）)

如果将谓词的外延替换为置换映射的对象，得到的集合与最初的集合相同，则谓词的外延在定义域的置换下不变。例如，“是介于 A 和 E 之间的字母”的外延在上述字母置换下不变。相比之下，“是介于 A 和 E 之间的元音字母”的外延，即集合 {A,E}，在此置换下不不变，它会将其变换为另一个集合 {C,D}。

我们可以将置换不变性的概念更精确地表述如下。给定定义域 D 上的对象置换 p，我们定义一个层次结构中任意类型的变换 p∗：

如果 x 是 D 中的对象，则 p∗(x)=p(x)。

如果 x 是一个集合，则 p∗(x)={y:∃z(z∈x&y=p∗(z))}（即，p∗ 将 x 的成员映射到的对象集合）。

如果 x 是一个有序 n 元组 ⟨x1,…,xn⟩，则 p∗(x)=⟨p∗(x1),…,p∗(xn)⟩（即，p∗ 将 x1,…,xn 映射到的对象集合）。[9]

这些子句可以递归地应用于定义 D 中有序元组集合的变换（二元谓词的外延）、D 中对象集合的集合（一元一阶量词的外延）等等。 （有关类型论层次结构的介绍，请参阅类型论条目。）其中 x 是此层次结构中的一项，我们说 x 在置换 p 下不变，只要 p∗(x)=x。回到上面的例子，集合 {A,B,C,D,E} 在字母 A 到 E 的所有置换下不变：无论我们如何交换这些字母，最终都会得到相同的集合。但它并非在整个字母表的所有置换下不变。例如，交换字母 A 和 Z 的置换，将所有其他字母映射到它们自己，将 {A,B,C,D,E} 转换为 {Z,B,C,D,E}。然而，包含所有字母的集合在所有字母排列下都是不变的。所有包含至少两个字母的集合的集合，以及每个字母与其自身之间的恒等关系，也是如此。

到目前为止，我们已经为对象、元组和集合定义了排列不变性，但尚未为谓词、量词或其他语言表达式定义排列不变性。但我们需要将后者，而不是前者，划分为逻辑常数和非逻辑常数。自然的想法是，一个表达式应该算作排列不变的，前提是它在每个对象域上的扩展在该域的所有排列下都是不变的。 （通常，名称在域上的外延是它所表示的对象，一元谓词的外延是它所适用的域中的对象集，n 元谓词的外延是它所适用的域中的 n 元组对象的集合。）就目前而言，此定义不适用于句子连接词，因为句子连接词没有通常意义上的外延[10]，但可以扩展以自然地涵盖它们（遵循 McGee 1996, 569）。我们可以将域 D 上的 n 元量词或句子连接词 C 的语义值视为从 n 元组赋值集（从 D 到语言变量的值）到赋值集的函数。函数的输入是满足 ϕ1,…,ϕn 的 n 元组赋值集，其输出是满足 Cϕ1…ϕn 的赋值集。（通过思考一元连接词 ∃x 的工作原理来检验你的理解。）然后，我们可以为这些语义值定义置换不变性如下。其中 A 是赋值集，p 是定义域 D 的置换，令 p†(A)={p∘a:a∈A}。[11] 设 e 是 n 位连接词或量词（如上定义）的语义值，则 e 在置换 p 下不变，即对于任何 n 元组 ⟨A1,…,An⟩ 的赋值集，p†(e(⟨A1,…,An⟩))=e(⟨p†(A1),…,p†(An)⟩)。并且，连接词或量词在置换 p 下不变，即其在每个对象域上的语义值在该域的所有置换下不变。

事实证明，此条件不足以消除对对象特定特征的所有敏感性，因为它允许置换不变常数在包含不同类型对象的域上表现不同。 McGee (1996, 575) 给出了一个妙趣横生的例子：袋熊析取。如果论域包含袋熊，它的行为类似于析取，否则类似于合取。Sher 和 McGee 的解决方案是，不仅考虑置换（论域到自身的双射），还考虑论域到基数相等的另一个论域的任意双射。[12] 为简单起见，下文我们将忽略这一复杂性，继续讨论置换。

根据这一标准，哪些表达式可以算作逻辑常量？单子谓词“是一物”（适用于所有事物）和“不是任何事物”（不适用于任何事物）、身份谓词、真值函项连接词以及标准存在量词和全称量词都符合这一标准。标准的一阶二元量词，例如“most”和“the”，也符合这一标准（参见“描述”条目）。事实上，由于基数是置换不变的，所以所有基数量词都包含在内，包括“有无穷多个”、“有不可数个”以及其他非一阶可定义的量词。此外，二阶量词算作逻辑量词（至少在标准语义学中，它们涵盖论域的任意子集），所有高阶量词也一样。另一方面，所有专有名词都被排除在外，谓词“红色”、“马”、“是……的后继”和“是……的成员”，以及量词“一些狗”和“恰好两个自然数”也被排除在外。因此，不变性标准似乎至少部分符合关于逻辑性或主题中立性的常见直觉，也符合我们的逻辑实践。两个技术结果使我们能够更精确地了解这种一致的程度：Lindenbaum 和 Tarski（1934-5）表明，所有可以用《数学原理》语言定义的关系都是置换不变的。反过来，McGee (1996) 指出，所有置换不变运算都可以用具有直观逻辑特征的运算（恒等式、变量代换、有限或无限析取、否定以及有限或无限存在量化）来定义。他还推广了 Lindenbaum-Tarski 的结论，证明所有可如此定义的运算都是置换不变的。

正如 Tarski 等人指出的那样，逻辑常数的置换不变性准则可以看作是 Felix Klein (1893) 思想的自然推广，该思想认为，不同的几何可以通过其基本概念在其下保持不变的变换群来区分。例如，欧氏几何的概念在相似变换下不变，仿射几何的概念在仿射变换下不变，拓扑的概念在双连续变换下不变。同样，塔斯基（1986，149）指出，逻辑概念正是那些在尽可能广泛的变换群下不变的概念：即论域中元素的置换群。从这个角度来看，逻辑概念是一系列逐渐抽象、“形式化”或主题中立的概念的终点，这些概念由它们在论域中越来越广泛的变换群下的不变性定义。[13]

因此，作为逻辑独特普遍性的一种解释，置换不变性有很多值得称道的地方。它在哲学上动机充分，在数学上精确，它得出的结果符合惯例，并且对一些边界情况（例如集合论成员资格）给出了确定的裁定。最重要的是，它为清晰而有原则的逻辑划分带来了希望，避免使用诸如“关于”、“分析”和“先验”等模糊的认识论和语义术语。[14]

置换不变性准则的一个局限性（正如迄今为止所述）在于它仅适用于外延算子和联结词。因此，它对于判断例如S4模态逻辑中的必然性算子或时态逻辑中的H算子（“一直以来都是如此”）是否是真正的逻辑常数毫无帮助，而这些问题正是我们希望通过一个准则来解决的问题之一。然而，不变性准则可以自然地扩展到内涵算子。在语义上处理此类算子的常用策略是将真值不仅相对化为变量的赋值，还相对化为可能世界和时间。在这样的框架下，人们可能会要求逻辑常数不仅对对象域的置换不敏感，而是对可能世界域和时间域的排列（参见 Scott 1970, 161、McCarthy 1981, 511–13、van Benthem 1989, 334）而言。由此得出的标准相当严格：它将 S5 必然性算子视为逻辑常数，但不将 S4 必然性算子或 H 算子视为逻辑常数。原因是后两个算子对世界域和时间域的结构敏感——前者是“可达性关系”，后者是时间排序关系——而这些域的所有排列并非都保留这种结构。[15]（参见模态逻辑和时间逻辑的条目。）

可以通过仅要求在保留这些域上相关结构（可达性关系、时间排序）的排列下保持不变性来避免这种后果。但随后，人们将面临一个任务，即解释为何这种结构值得特殊对待（参见 van Benthem 1989, 334）。如果我们被允许在世界或时间领域中保持某些结构不变，那么问题就立即出现了：为什么我们不应该在对象领域中也保持某些结构不变：例如，集合论的成员关系、部分论的部分/整体关系，或存在与不存在对象之间的区别（参见自由逻辑条目）。无论我们诉诸何种资源来回答这个问题，在最终划分逻辑常数方面，其作用至少与置换不变性一样大。

似乎唯一原则性的立场是要求在所有置换下保持不变性。但即使是这种立场也需要论证，尤其是当我们意识到可以制定更严格的不变性条件时。Feferman (1999) 定义了一个“相似不变性”标准，该标准将真值函数算子以及一阶存在量词和全称量词视为逻辑常数，但不将恒等式、一阶基数量词和二阶量词视为逻辑常数。与置换不变性标准相比，Feferman 的标准将逻辑与数学之间的界限划得更接近传统的界限。事实上，Feferman 对置换不变性标准的批评之一是，它允许太多原本属于数学的概念用纯逻辑术语来表达。 Bonnay (2008) 提出了一个不同的标准，即潜在同构下的不变性，它将有限基量词和有限性概念视为逻辑上的，同时排除更高基数的量词——从而“将逻辑与数学的界限设定在算术和集合论之间”（37；更多讨论参见 Feferman 2010，§6）。Feferman (2010) 建议，与其仅仅依赖不变性，不如将置换下的不变性与一个单独的绝对性要求结合起来，这体现了逻辑对诸如无穷公理等有争议的集合论命题的不敏感性。他指出，那些既具有置换不变性，又相对于没有无穷公理的克里普克-普拉泰克集合论绝对可定义的逻辑运算，正是那些可以在一阶逻辑中定义的逻辑运算。

任何试图通过诉诸不变性等数学性质来划分逻辑常数的尝试都面临着另一个问题。正如麦卡锡所说：“一个表达式的逻辑地位并非由它所引入的函数决定，也与这些函数的具体指定方式无关”(1981, 516)。考虑一个二元谓词“≈”，其含义由以下定义给出：

仅当 a(α) 和 a(β) 的质量完全相同时，“α≈β⌝”在赋值 a 上为真。

根据不变性准则，“≈”为逻辑常数，仅当它在每个定义域上的外延在该定义域的任何排列下不变。在不存在两个质量完全相同的对象的定义域 D 上，“≈”的外延与“=”相同——集合 {⟨x,x⟩:x∈D}——并且如我们所见，该外延在该定义域的任何排列下不变。因此，如果不存在包含两个质量完全相同的对象的定义域，“≈”算作逻辑常数，而“∀x(x≈x)”算作逻辑真值。[16]但“≈”和“∀x(x≈x)”的逻辑状态竟然取决于一个偶然事实，即是否存在质量相同的不同物体，这似乎有些奇怪。我们真的想说，如果我们生活在一个没有两个物体质量相同的世界里，“≈”就是一个逻辑常数吗？[17]

对这类反对意见的自然回应是，要求逻辑常数在每个可能的对象域上的外延在该域的每个置换下都保持不变，或者更一般地说，逻辑常数必然满足置换不变性准则。但这并不能触及问题的根源。例如，考虑一元连接词“#”，其定义如下：

⌜ϕ⌝：在赋值 a 上为真，仅当 ϕ 在 a 上不成立且水是 H2O 时。

假设克里普克（Kripke，1971；1980）关于水必然是H2O的观点是正确的，“#”在任何可能世界中都具有与“¬”相同的外延，因此必然满足置换不变性准则（McGee，1996，578）。但直观地看，“”：似乎不应算作逻辑常数。[18]

人们可以通过诉诸认识论模态而非形而上学模态来规避这一反例。这是 McCarthy 的策略 (1987, 439)。即使水是 H2O 在形而上学上是必然的，也大概存在一些认识论上可能的世界或信息状态，其中水不是 H2O。因此，如果我们要求逻辑常数作为认识论必然性（或先验性）而具有置换不变性，“”：不算作逻辑常数。但即使按照这个标准，像“%”这样的连接词，其定义为

⌜%ϕ⌝ 在赋值 a 上为真，仅当 ϕ 在 a 上不成立且没有男性寡妇时。