科亨-斯佩克定理（二）

(VC1) v(P1) + v(P2) + v(P3) = 1，其中 v(Pi) = 1 或 0，

i = 1, 2, 3。

任意选择一个可观测量 Q 都会定义新的可观测量 P1、P2、P3，这些新的可观测量又会选择 H3 中的射线。因此，强制可观测量 P1、P2、P3 都有值意味着为 H3 中的射线分配数字，而 VC1 尤其意味着对任意 Q 选择的正交射线（简称：H3 中的正交三元组）的任意三元组分配数字，其中恰好有一条射线被分配为 1，其他射线被分配为 0。现在，如果我们引入不同的不相容可观测量 Q、Q′、Q″，…这些可观测量会在 H3 中选择不同的正交三元组。KS 定理（实际上是 VD）的假设 (1) 现在告诉我们，这些三元组中的每一个都有三个值，而 VC1 告诉我们对于每个三元组，这些值都必须恰好是 {1, 0, 0}。KS 现在表明，对于 H3 中特定的有限正交三元组集，不可能为它们中的每一个分配数字 {1, 0, 0}（匹配公共射线）。进一步思考可知，虽然 H3 是复数，但实际上只需考虑一个实数三维希尔伯特空间 R3 即可。因为我们可以证明，如果根据 VC1 的值分配在 H3 上可行，那么在 R3 上也同样可行。反之，如果在 R3 上不可能分配，那么在 H3 上也不可能。因此，我们可以满足 KS 证明所需的条件，同时将问题简化为 R3 上的问题。现在，H3 中任意正交三元组在 R3 中的等价形式再次为：任意正交射线三元组（简称：R3 中的正交三元组）。因此，如果 KS 想要证明，对于 H3 中特定的一组 n 个正交三元组（其中 n 为自然数），不可能将数字 {1, 0, 0} 分配给它们中的每一个，那么他们只需证明，对于 R3 中特定的一组 n 个正交三元组，不可能将数字 {1, 0, 0} 分配给它们中的每一个即可。而这正是他们所做的。

需要强调的是，目前 R3 与物理空间之间没有直接联系。KS 想要证明，对于一个需要在至少三维的希尔伯特空间中表示的任意量子力学系统，结合条件 (KS2)（求和规则和乘积规则）进行赋值是不可能的，为此，只需考虑空间 R3。然而，这个空间 R3 并不代表所讨论的量子系统的物理空间。尤其需要注意的是，R3 中的正交性不应与物理空间中的正交性相混淆。如果我们以物理空间中的量子力学系统为例，同时需要 H3 中的量子力学表示，这一点就显而易见了，例如，一个单粒子自旋为 1 的系统的自旋自由度。给定物理空间中的任意方向 α 和一个表示 α 方向自旋分量可观测量的算符 Sα，H3 由 Sα 的特征向量构成，即 |Sα=1＞、|Sα=0＞、|Sα=−1＞，它们在 H3 中相互正交。这三个向量分别对应于一个空间方向上的三个可能测量结果，相互正交，这一事实说明了 H3 和物理空间中正交性的不同含义。（当然，原因在于量子力学的结构，（代表了H3中不同方向可观测量的不同值。）

KS 本人抽象地以完全相同的方式进行研究，但他们用一个例子来说明，该例子确实与物理空间建立了直接联系。理解这种联系很重要，但也要明确，这种联系是由 KS 的例子产生的，而非其数学结果所固有的。KS 提出考虑一个自旋为 1 的单粒子系统，并测量物理空间 Sx2、Sy2、Sz2 中正交自旋方向的平方分量，这些方向是相容的（而 Sx、Sy、Sz 本身不相容）。[7] 自旋平方分量的测量仅决定其绝对值。在这里，他们再次运用加法规则和乘法规则，推导出一个略有不同的赋值约束（证明）：

(VC2) v(Sx2) + v(Sy2) + v(Sz2) = 2，其中 v(Sα2) = 1 或 0，

对于 α = x, y, z。

现在，由于 Sx2、Sy2、Sz2 相容，存在一个可观测量 O，使得 Sx2、Sy2、Sz2 均为 O 的函数。因此，任意一个这样的 O 的选择都会固定 Sx2、Sy2 和 Sz2，并且由于后者可以直接与 H3 中的相互正交的射线相关联，因此它又固定了 H3 中一个正交三元组的选择。由此产生的问题是将数值 {1, 1, 0} 分配给 H3 中由 O 的选择（或更直接地，由 Sx2、Sy2、Sz2 的选择）指定的正交三元组。当然，这与我们之前为此类三元组分配数值 {1, 0, 0} 的问题镜像对应，我们无需单独考虑。

然而，选择一个特定的 O，同时选择可观测量 Sx2、Sy2 和 Sz2，就等于选择了物理空间中的三条正交射线，即通过固定一个坐标系 ±x, ±y，±z（它定义了沿哪些正交射线测量自旋分量的平方）在物理空间中的位置。因此，现在通过选择可观测量 O，空间方向与 H3 方向有了直接联系：H3 中的正交性现在确实对应于物理空间中的正交性。对于 R3 也是如此，如果为了论证 H3，我们考虑 R3。R3 中的正交性现在对应于物理空间中的正交性。需要注意的是，即使我们坚持纯数学事实应该由物理解释来补充，这种对应关系对于论证来说也不是必要的——因为我们之前已经见过一个没有任何对应关系的例子。关键在于我们能否设计出一个存在对应关系的例子。具体来说，我们现在可以遵循 R3 中的证明，并始终想象一个位于物理空间中的系统，即一个自旋为 1 的粒子，它在测量三个物理量时返回三个值，这三个物理量直接与物理空间中的正交方向相关，即 v(Sx²)、v(Sy²)、v(Sz²)，对于任意 x、y、z 坐标。KS 证明表明，不可能（当然，前提是给定的）将所有这些任意坐标值赋给自旋为 1 的粒子。也就是说，KS 论证表明（前提是给定的）自旋为 1 的粒子不可能同时拥有其在不同测量排列中表现出的所有属性。

需要提及 KS 论证中已变得惯常的另外三个特征：

(1) 显然，我们只需给出 R3 中任何一条通过原点的射线，就可以明确地指定它。因此，KS 将射线等同于单位球面 E 上的点。KS 不需要引用某个点的具体坐标。因为他们的论证是“坐标无关的”。不过，为了便于说明，我们有时会提及具体的点，然后 (a) 使用笛卡尔坐标系检查正交关系，以及 (b) 用不在 E 上的点来指定射线。（因此，例如，点的三元组 (0, 0, 1), (4, 1, 0), (1, -4, 0) 用于指定正交射线的三元组。）这两种用法都符合最近的文献（例如参见 Peres (1991) 和 Clifton (1993)）。

(2) 我们将值归属的约束 (VC1) 和 (VC2) 转化为点着色的约束。我们可以在 (VC1) 下将点着色为白色（表示“1”）和黑色（表示“0”），或者在 (VC2) 下将点着色为白色（表示“0”）和黑色（表示“1”）。无论哪种情况，约束都转化为相同的着色问题。

(3) KS 用后来被称为 KS 图的图来说明射线的正交关系。在这种图中，每条射线（或指定射线的点）都由一个顶点表示。由直线连接的顶点表示正交射线。着色问题转化为将图的顶点着色为白色或黑色的问题，使得连接的顶点不能同时为白色，并且三角形只有一个白色顶点。

3.4 KS 的原始论证。证明简略。

KS 分两步进行。

(1) 在第一步（也是决定性的一步），他们证明两条颜色相反的射线不能任意接近。他们首先证明，只有当 a0 和 a9 之间的夹角为 θ 且 0 ≤ θ ≤ sin−1(1/3) 时，才能构造图 1 中所示的 Γ1 图（我们暂时忽略图中指定的颜色）（证明）。

图1

图1：着色不一致的十点KS图Γ1。现在（为了进行归谬法）考虑 a0 和 a9 具有不同的颜色。我们任意将 a0 涂成白色，将 a9 涂成黑色。着色约束迫使我们像图 1 那样为图的其余部分着色，但这要求 a5 和 a6 正交且均为白色——这是被禁止的。因此，小于 sin−1(1/3) 的两个点不能具有不同的颜色。反之，不同颜色的两个点也不能小于 sin−1(1/3)。

（2）KS 现在按以下方式构造另一个相当复杂的 KS 图 Γ2。他们考虑 Γ1 的一个实现，即角度 θ=18° ＜ sin−1(1/3)。现在，他们选择三个正交点 p0、q0、r0，以及它们之间 Γ1 的空间互锁副本，使得 Γ1 的一个副本中点 a9 的每个实例都与下一个副本中点 a0 的实例相同。这样，Γ1 的五个互锁副本就分布在 p0 和 q0 之间，并且 a8 的所有五个实例都与 r0 对应（同样，五个这样的互锁副本分布在 q0 和 r0 之间，将所有 a8 的副本与 p0 对应；在 p0 和 r0 之间，将所有 a8 的副本与 q0 对应）。Γ2 的可构造性由构造本身直接证明。在 a0 的实例之间以 θ=18° 的角度分布 Γ1 的五个副本，将分布出 5x18° = 90° 的角度，这正是所需的。此外，在 p0 和 q0 之间从一个 Γ1 副本移动到下一个副本，相当于将副本绕原点和 r0 的轴旋转 18°，这显然保持了副本的点 a0 和 a9 与 r0 之间的正交性。

图2

图2：117点KS图Γ2

（摘自Kochen和Specker，1967，69页；经印第安纳大学数学期刊许可）

然而，虽然Γ2是可构造的，但它并非一致可着色。从第一步我们知道，Γ1的θ=18°副本要求点a0和a9具有相同的颜色。现在，由于Γ1一个副本中的a9与下一个副本中的a0相同，因此第二个副本中的a9必须与第一个副本中的a0具有相同的颜色。事实上，重复这个论证，a0的所有实例都必须具有相同的颜色。现在，p0、q0、r0与点a0等同，因此它们必须要么全白，要么全黑——这两种情况都与着色约束（其中只有一个是白色）不一致。

如果从构造Γ2过程中使用的15个Γ1副本中减去那些彼此等同的点，我们最终会得到117个不同的点。因此，KS 证明了，一组 117 个“是-否”可观测量无法一致地按照 VC1（或等效地，VC2）赋值。

注意，在构造 Γ1（即由 10 个点组成 22 个互锁三元组的集合）时，除 a9 之外的所有点都出现在多个三元组中。在 Γ2 中，每个点都出现在多个三元组中。此处，非语境性前提对于该论证至关重要：我们假设任意点在从一个正交三元组移动到下一个正交三元组（即从一个最大相容可观测量集移动到另一组）时，其值保持为 1 或 0。

3.5 三维空间中的统计 KS 论证（Clifton）

回想一下 KS 的第一步，它确立了两个颜色相反的点不能任意接近。正是这第一步承载了该论证的全部力量。贝尔以不同的方式建立了它，然后论证说，在非上下文的 HV 解释中，具有相反颜色的点必须任意接近。克利夫顿在结合贝尔和KS思想的论证中运用的正是这第一步。

图3

图3：8点KS-克利夫顿图Γ3，着色不一致。

考虑图3所示的KS图Γ3，它显然是KS图Γ1的一部分，但它有额外的八个满足正交关系的具体赋值（从而直接证明了Γ3是可构造的）。根据我们之前的着色约束（连接点不能同时为白色，且三角形只有一个白点），我们立即看出，只有当最外侧的点不同时，Γ3才是可着色的（这要求如图3所示，两个连接点必须为白色——这与约束条件相反）。此外，我们很容易计算出两个最外侧点之间的夹角为cos−1(1/3)。[8] 因此，我们得出结论：如果想要给所有八个点着色，并且希望将其中一个外侧点着色为白色，那么另一个点必须是黑色。考虑到我们可以在 R3 中任意两点之间插入一个图，这两点之间的夹角恰好是 cos-1(1/3)，并将我们的问题从着色问题转化回 KS 的例子（约束 VC2），我们最终得到一个约束 VC2′：

(VC2′) 对于自旋为 1 的系统，如果空间中某个自旋方向 x 的值为 0，则任何其他与 x 夹角为 cos-1(1/3) 的方向 x′ 都必须为 1，或者用符号表示：如果 v(Sx)=0，则 v(Sx′)=1。

到目前为止，论证都使用了原始 KS 条件 KS1 和 KS2。现在我们进一步假设，任何对值赋值的约束都会在测量统计中体现出来。具体来说：

（3）如果 prob[v(A)=a] = 1，且 v(A)=a 蕴涵 v(B)=b，则 prob[v(B)=b] = 1。

尽管使用了统计数据，这一推理与冯·诺依曼的论证有着至关重要的不同。冯·诺依曼曾认为，值之间的代数关系应该转化为测量值的统计数据，因此量子力学对这些统计数据的约束应该具有与其完全镜像对应的值约束——这种推理使我们可以从统计约束（对于任意可观测量）中推导出值约束。相反，在这里，我们独立于任何统计推理推导出一个值约束，然后得出结论，该约束应该转化为测量统计数据。[9]

现在，VC2′ 和统计条件 (3) 蕴涵：如果 prob[v(Sx)=0]=1，则 prob[v(Sx′)=1]=1。然而，这与量子力学中 prob[v(Sx)=0] = 1 时得出的统计数据相矛盾。[10] 事实上，v(Sx′=0) 的概率为 1/17。因此，在长期测试中，1/17 的自旋为 1 的粒子将违反该约束。

如果我们接受克利夫顿的统计推理，我们就有了一个完全有效的KS论证，证明了量子力学的HV解释与量子力学的预测本身之间存在矛盾。克利夫顿还提出了一个略微复杂的13个可观测量集合，同样也产生了1/3的统计矛盾。

克利夫顿的论证使用了8个（或13个）可观测量，固定其中一个（Sx）的值，并推导出与量子力学对另一个（Sx′）的预测存在差异的HV预测。因此，如果可以产生一个量子力学系统的值v(Sx)=0的状态，那么这些预测就可以通过经验检验。但通过实验固定这样的状态并非易事。因此，克利夫顿的论证依赖于一个可能难以产生或分离的状态。最近，已发现一种由13个可观测量组成的构造，可以实现与状态无关的统计论证 (Yu and Oh 2012)。

4. 函数组合原理

KS定理的关键要素是(2)中阐明的赋值约束：求和规则和乘积规则。它们可以从一个更通用的原理推导而来，称为函数组合原理 (FUNC)。[11] 该原理基于以下数学事实：对于在希尔伯特空间中运算的自伴随算子A和任意函数f: R→R（其中R是实数集），我们可以定义f(A)并证明它也是一个自伴随算子（因此，我们记为f(A)）。如果我们进一步假设每个自伴算子都对应一个量子力学可观测量，那么该原理可以表述如下：

FUNC：设 A 为与可观测量 A 关联的自伴算子，设 f: R → R 为任意函数，且 f(A) 为另一个自伴算子，设 |φ＞ 为任意状态；则 f(A) 与一个可观测量 f(A) 唯一关联，且：

v(f(A))|φ＞ = f(v(A))|φ＞

（我们引入上述状态上标，是为了允许值可能依赖于系统所处的特定量子态。）加法规则和乘法规则是 FUNC 的直接推论[证明]。 FUNC 本身无法从量子力学的形式体系中推导出来，但它的一个统计版本（称为 STAT FUNC）是[证明]：

STAT FUNC：给定 A、f、|φ＞，如 FUNC 中定义，则对于任意实数 b：

prob[v(f(A))|φ＞=b] = prob[f(v(A))|φ＞=b]

但 STAT FUNC 不仅能从量子力学的形式体系中推导出来，它也能从 FUNC [证明] 中推导出来。这可以被视为为 FUNC 提供了“可信度论证”（Redhead 1987: 132）：STAT FUNC 为真，作为量子力学（QM）的数学概念。现在，如果 FUNC 为真，我们就可以推导出 STAT FUNC，从而将量子力学的部分数学理解为 FUNC 的结果。[12]

但是，如果不是从 STAT FUNC 推导出 FUNC 本身，我们又该如何推导出它呢？它是 STAT FUNC 和三个假设（其中两个假设在引言中已介绍过）的直接结果：

值实在论 (VR)：如果存在一个操作定义的实数 α，与自伴算子 A 相关联，并且对于给定状态，量子力学 A 的统计算法得出一个实数 β，且 β = prob(v(A)=α)，则存在一个值为 α 的可观测量 A。

值确定性 (VD)：为量子力学系统定义的所有可观测量在任何时候都具有确定的值。

非语境性 (NC)：如果量子力学系统拥有某个属性（可观测量的值），则该属性的拥有独立于任何测量语境。

VR 和 NC 需要进一步解释。首先，我们需要解释 VR 的含义。量子力学的统计算法告诉我们如何根据给定状态、给定可观测量及其可能值计算概率。在这里，我们将其理解为一种纯粹的数学方法，不包含任何物理解释：给定一个希尔伯特空间向量、一个算符及其特征值，该算法告诉我们如何计算新的数字（这些数字具有概率的性质）。此外，我们这里所说的“操作性定义”仅仅是指“由一个我们已知表示实属性的数字构成”。因此，VR 实际上是说，如果我们有一个实属性 Γ（可观测量 G 的值 Γ），并且我们能够根据 Γ 构造一个新的数字 α，并找到一个算符 A，使得 α 是 A 的特征值，那么（我们已经完成了应用统计算法所需的一切；因此）A 表示一个可观测量 A，其值 α 是一个实属性。

其次，NC 的失效可以用两种方式理解。要么是可观测量的值可能依赖于上下文，尽管可观测量本身并非如此；要么是可观测量的值可能依赖于上下文，因为可观测量本身依赖于上下文。无论哪种情况，可观测量与上下文的独立性都意味着可观测量和算子之间存在对应关系。NC 的这一蕴涵正是我们目前在 FUNC 推导中要用到的。我们确实会假设，如果 NC 成立，这意味着可观测量——以及由此产生的值——与测量上下文无关，即与测量方式无关。具体而言，可观测量与上下文的独立性意味着可观测量和算子之间存在一一对应的关系。NC 的这一蕴涵正是我们目前在 FUNC 推导中要用到的。相反，NC 的失效将仅被解释为 1:1 对应失效。

根据 VR、VD、NC 和 STAT FUNC，我们可以推导出 FUNC，如下所示。考虑系统的任意状态和任意可观测量 Q。根据 VD，Q 具有值 v(Q)=a。因此，我们可以为任意函数 f 构造数 f(v(Q))=b。对于这个数，根据 STAT FUNC，prob[f(v(Q))=b] = prob[v(f(Q))=b]。因此，通过根据 STAT FUNC 变换概率，我们创建了一个新的自伴随算子 f(Q)，并将其与两个实数 b 和 prob[f(v(Q))=b] 关联。因此，根据 VR，存在一个与 f(Q) 对应的可观测量，其值为 b，因此 f(v(Q))=v(f(Q))。根据 NC，该可观测量是唯一的，因此 FUNC 成立。