科亨-斯佩克定理（三）

5.逃避KS论证

上一节阐明了HV理论家逃避KS论证的可能性：否认共同推导出FUNC（因此有加法规则和乘法规则）的三个前提之一。

5.1 不存在普遍的价值确定性

我们记得，价值确定性（VD）是成熟HV解释的基本前提。因此，如果为了逃避反对HV解释可能性的强有力论证，这些解释放弃了其基本前提，这似乎没有多大意义。但一些解释者指出，在认为只有量子力学（QM）规定的那些可观测量才具有值[13]和认为所有可观测量都具有值之间，存在一定的回旋余地，即提出一组与量子力学规定的可观测量不同的可观测量（但一般来说，既不会超过这些可观测量，当然也不会全部）也具有值。这种选择被称为“部分值确定性”。实现这一点的一种方法是一次性选择一组可观测量，这些可观测量可以被赋予确定的值，而不会违反KS定理。最著名的例子是德布罗意-玻姆导航波理论，在该理论中，位置和位置函数始终具有确定的值。另一种方法是让确定的可观测量集合随状态而变化；这是各种模态解释所采用的方法。这种方法的一个变体是Bub (1997) 的方法，他选择某个可观测量R使其始终确定；然后将确定的可观测量集合扩展为避免KS障碍的最大集合。

模态解释中的暗礁和浅滩超出了本文的讨论范围（参见“模态解释”条目）。我们只是指出，这些解释如何能够始终选出被假定为具有值的正确可观测量集合，这一点绝非显而易见。“正确集合”在此至少意味着，我们感知为具有值的可观测量（即与测量仪器指针位置相对应的可观测量）必须始终被包含，并且必须始终重现量子力学统计量。我们还提到了两个重要的结果，它们对模态解释的可行性提出了质疑：首先，可以证明，要么部分值确定性坍缩为完全值确定性（即值确定性），要么必须放弃关于物理性质的经典推理（Clifton 1995）。其次，即使在某些模态解释中，也可以推导出KS定理（Bacciagaluppi 1995，Clifton 1996）。

最近有人认为，否定值确定性与量子力学本身不一致（Held 2008，2012a，2012b）。该论证试图表明，VD 是理论本身（QM → VD）的结果。如果确实如此，我们——回想一下 KS 证明 QM & VD & NC 蕴含着矛盾——就得到了一个论证，支持 QM 本身蕴含着语境性。由于在这种情况下，QM 也蕴含着 VD，因此，总而言之，我们得到了一个论证，支持 QM 必须根据语境隐变量进行解释。

5.2 否定价值实在论

FUNC 的推导本质上在于通过一个算符（即 f(Q)）从一个变量的概率分布（即 f(v(Q)) 构建一个可观测量（即 f(Q)），而这个数又由另一个变量（即 v(Q)）构建。现在，我们不再否认 v(Q) 在所有情况下都存在（正如第一个选项 (5.1) 所言），我们可以拒绝承认数值α的存在和f(Q)的构造必然导致可观测量，即我们拒绝VR。这等于拒绝承认每个自伴算子都存在一个定义明确的可观测量。

现在，为了公式化VR，我们必须对统计算法进行简化解读，即它仅仅是一个从向量、算子和数值计算数字的数学工具。这种解读非常人为，并且预设了理解某些算子（如Q）所需的最小解释能力，而其他算子（如f(Q)）则无需具备。

此外，假设某些算子——与定义明确的可观测量相关联的算子的和与积——本身不与定义明确的可观测量相关联，即使它们在数学上从其加数或因子中继承了精确的值，也似乎完全不可信。举个粗略的例子，这就等于说，求一个系统的能量是一个定义明确的问题，而求系统能量的平方则不是，即使根据我们对第一个问题的回答和一些简单的数学知识，我们手头上有一个定义明确的答案。似乎没有充分的先验理由来证明这一限制的合理性。因此，为了使拒绝VR变得合理，我们提出了一个额外的建议：对于KS论证至关重要的是，同一个算符是由不同的、互不相容的极大算符构成的：f(Q) 等于 g(P)，其中 PQ − QP ≠ 0。我们现在假设，只有通过Q构造的f(Q)，而不是通过P构造的f(Q)，才能在特定上下文中得到定义明确的可观测量。[14]

然而，这一举动会自动使某些可观测量变得上下文相关。因此，这种否定VR的动机相当于一种语境主义，我们或许可以通过直接拒绝NC来更轻松地实现这种语境主义，而无需对统计算法进行任何篡改。（这解释了为什么我们在引言中没有单独提到否定VR。）

5.3 语境性

最后，我们可以接受VD和VR，但否认我们构造的可观测量f(Q)是无歧义的。因此，尽管f(Q)和g(P)在数学上相同，但我们可以假设它们对应于不同的可观测量，认为v(f(Q))的实际确定必须通过测量Q来进行，但v(g(P))的确定涉及测量与Q不相容的P。由于v(f(Q))和v(g(P))是不同测量情况的结果，因此没有理由假设v(f(Q)) = v(g(P))。这种阻止KS证明的方式，最终导致将f(Q)和g(P)理解为不同的可观测量（因为它们对语境敏感），因此相当于拒绝NC。文献中主要有两种方法可以进一步推动这一步骤。因此，有两种重要的语境性需要讨论——因果语境性和本体论语境性。

KS论证是针对量子力学系统拥有值提出的——与测量无关。事实上，在论证中，测量只被提及一次，而且是在否定的语境中——在NC中。然而，既然我们现在考虑拒绝NC，我们就必须考虑测量及其复杂性。为此，有必要阐明另一个体现我们无害实在论的原理（参见上文引言），即：忠实测量原则：

忠实测量 (FM)：对可观测量的量子力学测量忠实地呈现了该可观测量在测量相互作用之前的值。

FM 也是自然科学中一个极其合理的预设。（注意，FM 蕴含着 VD，因此我们可以用 FM 给出可能的测量结果的 KS 论证）。现在考虑 HV 支持者拒绝 NC 的动机。显然，其目的是挽救其他预设，尤其是 VD。现在，VD 和 NC 是独立的实在论信念，但 NC 和 FM 并非如此独立。事实上，我们将看到，在一种语境性版本中，拒绝 NC 意味着拒绝 FM，而在另一种语境性版本中，FM 则强烈暗示了拒绝 NC。 （这使得引言中那句略显隐晦的评论更加准确：支持实在论原理VD但拒绝实在论原理NC的解释应该是什么样子并不明显。这样的解释必然违反了第三个实在论原理，即FM。）

因果语境性

一个属性（可观测量的值）可能在因果语境上依赖于它，因为它对测量方式具有因果敏感性。其基本思想是，观测值是系统-仪器相互作用的结果。因此，通过与P测量仪器的相互作用测量一个系统可能会得到一个值v(g(P))，而通过与Q测量仪器的相互作用测量同一个系统可能会得到不同的值v(f(Q))，尽管这两个可观测量都由同一个算子f(Q) = g(P)表示。数值的差异可以用可观测量的语境依赖性来解释：后者是语境相关的，因为不同的物理实现方式会以不同的方式对系统产生因果影响，从而改变观测值。

如果解释者想要捍卫因果语境论，这将意味着放弃FM，至少对于f(Q)类型的可观测量（非最大可观测量）而言是如此：由于它们的值因果地依赖于某些测量安排的存在，这些安排对于值的产生是因果必要的，因此这些值不可能在系统-设备交互之前就存在，FM被违反。因果语境论的一个优点是：它并不意味着所涉及的物理属性的本体论地位必须改变，即并不意味着它们变得具有关系性。如果一个对象的属性是通过与另一个对象的交互而产生的，那么在交互之后，它仍然可以是该对象自身拥有的属性。然而，因果语境性的概念有时会受到批判性讨论，因为有理由认为它在经验上可能不充分（参见 Shimony 1984，Stairs 1992）。

本体论语境性

一个属性（可观测量的值）可能在本体论上依赖于语境，因为为了使其得到明确定义，必须指定它“来自”的可观测量。因此，为了从算子 f(Q) = g(P) 构造一个明确定义的可观测量，我们需要知道它是通过可观测量 P 还是可观测量 Q 物理实现的。这种解决 KS 问题的方法最早是由范弗拉森 (van Fraassen, 1973) 提出（但并未提倡）的。因此，对于算子 f(Q)，有多少种可观测量和物理属性，就有多少种从极大算子构造 f(Q) 的方法。然而，无需进一步解释，这个想法只不过是物理量的一种临时性的泛滥。本体论语境性的捍卫者当然应该给我们一个更清晰的解释，关于可观测量 f(Q) 对可观测量 Q 的依赖关系。我想到两种可能性：

(a) 我们可能认为 v(f(Q)) 并非一个自持的物理属性，而是一个在本体论上依赖于另一个属性 v(Q) 存在的属性。（回想一下，在 FUNC 的证明中，v(f(Q)) 是由 v(Q) 构造的。）但是，由于该立场并不认为在 P 测量情境中关于 f(Q) 值的问题不合理（因为它并不依赖可观测量仅在特定情境中定义明确的概念！），这似乎至少会引出一些新的、紧迫的问题。为了捍卫语境主义隐变量解释，该立场必须承认，系统不仅在 Q 测量情况下具有值 v(Q)，而且在 P 测量情况下也具有值 v′(Q)，尽管 v′(Q) 可能 ≠ v(Q)。现在，至少在这种情况下，对 f(Q) 值的质疑是合理的。v′(Q) 是否蕴含另一个 v′(f(Q)) ≠ v(f(Q))？或者，与 v(Q) 相反，v′(Q) 根本不会导致 f(Q) 的值？这两种选择似乎都不可行，因为我们难道不能仅仅通过在 P 和 Q 测量情况之间切换某个准备好的系统，就切换 v(f(Q)) 的存在和不存在，或者在 v(f(Q)) 和 v′(f(Q)) 之间切换吗？ （b）我们或许会认为，为了使 f(Q) 得到良好定义，一种测量方案而非另一种测量方案是必要的。这个想法与玻尔 1935 年反对 EPR 的论证非常相似，甚至可以被视为玻尔关于量子力学的观点在现代高能物理讨论中的恰当延伸（参见 Held 1998，第 7 章）。在这个版本的本体论语境主义中，属性 v(f(Q)) 并非依赖于另一个属性 v(Q) 的存在，而是依赖于 Q 测量装置的存在。这相当于一种整体论的立场：对于某些属性，只有当该系统是某个系统装置整体的一部分时，才可以说它们与该系统相关才有意义。在这里，在 P 测量情境中 f(Q) 的值的问题确实变得不合理，因为 f(Q) 的明确定义与 Q 测量情境紧密相关。但同样需要进一步澄清。该立场是否认为，与 f(Q) 相反，Q 本身在 P 测量情境中是明确定义的？如果不是，那么 Q 几乎不可能具有值（因为不明确定义是否认 f(Q) 具有值的原因），这意味着我们不再考虑给定类型的 HV 解释，并且完全没有必要阻止 KS 论证。如果确实如此，那么在P测量情况下，Q保持良好定义，而f(Q)却失去了这一状态，该如何解释呢？

在本体论语境主义的两个版本中，FM会变成什么样？好吧，如果我们对如何使立场可信持不可知论态度，我们可以挽救FM；而如果我们选择版本(a)或(b)使其可信，我们就会失去它。首先考虑对NC的不可知论否定。FM认为每个QM可观测量都被忠实地测量。现在，语境主义将一个可以由两个不同的非交换算子构成的算子拆分成两个可观测量，而本体论语境主义并不试图给我们一个因果故事，这会破坏测量值与FM所体现的测量相互作用之间的因果独立性。我们只是引入一个更细粒度的可观测量概念，但仍然可以将这些新的语境可观测量强加于FM。

然而，本体论语境主义的具体版本试图激发语境特征，却破坏了FM。版本(a)允许f(Q)在P和Q测量情况之间切换时“开启或关闭”或在不同值之间切换——这明显违反了FM。版本(b)也好不到哪里去。它引入了对测量方案的本体论依赖。很难看出这应该是什么，只是同样的因果依赖被推到了更高的“本体论”层面。同样，我们能否仅仅通过来回切换测量方案，就来回改变f(Q)是否定义明确，从而将v(f(Q))的存在与否翻转？

最后，我们注意到，与因果论版本相反，两种本体论语境主义都意味着，我们先前认为是内在的系统属性，现在变成了关系属性，即一个系统只有在拥有某些其他属性或与某种测量方案相关的情况下，才能拥有这些属性。

6. 经验检验的问题

众所周知，量子力学规定的贝尔不等式的违反已得到实验证实。KS定理是否也可能存在类似的情况？我们应该区分三个问题：(1) KS提出的作为其定理动机的实验是否可能实现？(2) 是否可能检验引出该定理的原理：加法规则与乘法规则、函数函数 (FUNC) 或乘积函数 (NC)？(3) 是否可能检验该定理本身？

(1) KS自己描述了一个具体的实验方案，用于测量单粒子自旋为1的系统上的Sx2、Sy2、Sz2，它们作为最大可观测量的函数。将一个处于最低三线态的正氦原子置于菱形对称的小电场E中。然后，可以将上述三个可观测量作为单个可观测量的函数进行测量，该可观测量即微扰哈密顿量Hs。根据E的几何结构，Hs具有三个不同的可能值，测量这些值可以揭示Sx2、Sy2和Sz2中哪两个的值为1，哪一个的值为0（参见Kochen和Specker，1967：72/311）。当然，这是一个实现实验的建议，该实验旨在例证我们上述值约束(VC2)。我们是否也可以实现(VC1)实验，即测量一组对易投影子，它们投射到一个最大可观测量的本征态上？Peres（1995：200）对这个问题给出了肯定的回答，并讨论了这样的实验，并参考了Swift和Wright（1980）的文献来详细了解其技术可行性。然而，Kochen 和 Specker 的实验方案并未得到进一步推进，因为它未能直接检验 NC。显然，对 HS 的测量仅测量一个正交三元组。HV 的支持者很可能会假设隐藏状态会随着 HS 的一次测量而变化（即使我们再次准备相同的 QM 状态），从而维持 NC。

（2）结合 FUNC 的表现形式，即加法规则和乘法规则，QM 会产生像 VC1 或 VC2 这样与 VD 相矛盾的约束。因此，仅仅提供具体的物理示例，在给定加法规则和乘法规则的情况下，能够实例化上述 VC1 或 VC2 是不够的。我们必须思考这些规则本身是否能够得到经验支持。在 80 年代初期，关于这个问题进行了大量讨论——明确地讨论了加法规则是否能够通过经验检验——并且普遍认为它不能。[15]

原因如下。回想一下，FUNC 的推导仅在最后一步（通过 NC）建立了新可观测量 f(Q) 的唯一性。正是这种唯一性保证了一个算符恰好代表一个可观测量，从而使得不同情境下的可观测量（以及它们的值）可以相等。这使我们能够在不同的不相容可观测量之间建立间接联系。如果没有这最后一步，FUNC 就必须被视为相对于不同情境成立，这种联系被打破，FUNC 被限制于一组相互兼容的可观测量。那么，FUNC、加法规则和乘法规则就变得微不足道，在这些情况下进行实证检验也将毫无意义。[16] NC 完成了所有的工作，值得通过检查对于不相容的 P 和 Q，使得 f(Q)=g(P)，v(f(Q))=v(g(P)) 是否成立来进行检验。然而，尽管量子力学和非语境HV理论对于单个系统相互矛盾，但这种矛盾涉及不相容的可观测量，因此无法检验（正如我们刚刚从Kochen和Specker自己的方案中看到的那样）。然而，物理学家们提出了巧妙的方案来克服这一障碍。众所周知，考虑双粒子系统及其自旋分量的乘积可以得到非常简单的KS型证明（Mermin 1990b）。Cabello和Garcìa-Alcaine（1998）已经证明，对于这样的系统，量子力学和非语境HV理论对每种情况都会做出不同的预测。他们的推理并未提及局域性考虑，但由于它需要两个粒子，因此这类考虑可能会被纳入考虑。Simon等人（2000）将Cabello/Garcìa-Alcaine方案映射到单个粒子的位置和自旋可观测量组合上。他们的实验已经进行，并证实了量子力学（QM）的预测（Huang et al. 2003；另见近期的 Huang et al. 2013）。所有提及的作者都认为他们的实验方案是对上下文无关理论（NC）的经验反驳，但这受到了质疑（Barrett and Kent 2004），理由将在下一段中讨论。

（3）KS定理就其数学性质而言，无法通过经验检验。然而，我们可以按照前几段的思路，尝试测量一个合适的KS不可着色集的子集。特别是，应该可以得出类似Clifton的例子（3.5）的案例，其中量子力学和非语境HV理论做出了可测量的差异预测。这类案例似乎可以提供经验检验，以检验自然是否具有语境性（但无法检验这种语境性是因果型还是本体型）。（有关此类方法的最新版本，请参阅 Tang 和 Yu 2017。）自 20 世纪 80 年代以来，有人认为这种检验是不可能的。有人声称，KS 定理为与 QM 相悖的 HV 理论留下了足够多的漏洞，但能够重现该理论的经验预测。Pitowsky (1983, 1985) 认为，可以将注意力限制在 R3 中可着色的方向子集上。然而，他的论证依赖于一种非标准版本的概率论，而该版本被认为在物理上是不可信的。Meyer (1999) 利用了一个数学事实：R3 中一组方向集合 DM，如果任意接近 KS 集，但具有有理坐标，则该集合是 KS 可着色的。 Meyer 认为，实测值的精度有限，因此无法区分 R3 中的方向与其 DM 的近似值。Kent (1999) 将此结果推广至所有希尔伯特空间，Clifton 和 Kent (2000) 已经证明，如果一个方向 DCK 集中的每个方向都只属于一个正交三元组，那么这个方向集可以任意紧密地逼近任何方向。