科亨-斯佩克定理（一）

科亨-斯佩克定理是量子力学 (QM) 基础中一个重要而微妙的主题。该定理证明了某种类型的量子力学解释不可能以隐变量 (HV) 的形式进行，而当人们开始考虑解释量子力学时，这种解释自然而然地就会浮现出来。我们在此从不同层面介绍该定理/论证及其相关的基础性讨论。希望快速浏览的读者可以阅读以下章节和小节：1、2、3.1、3.2、4 和 6。阅读完整条目的读者可以在补充文献中找到一些重要论断的证明。

1. 引言

2. KS 定理的背景

3. KS 定理的陈述与证明

3.1 KS 定理的陈述

3.2 四维空间中 KS 的快速论证 (Cabello 等人)

3.3 最初的 KS 论证。技术准备

3.4 最初的 KS 论证。证明概要

3.5 三维空间中的统计 KS 论证 (Clifton)

4. 函数组合原理

5. 逃避 KS 论证

5.1 不存在普遍的价值确定性

5.2 否定价值实在论

5.3 语境性

6. 经验检验的问题

参考文献

学术工具

其他网络资源

相关文章

1. 引言

量子力学 (QM) 具有一个特殊的性质，即量子力学状态通常只意味着对测量结果的统计限制。自然而然地可以得出这样的结论：这些状态是量子系统的不完整描述。因此，量子力学是不完备的，因为单个系统的典型 QM 状态描述可以用 HV 理论的更完整描述来补充。在系统的 HV 描述中，QM 概率将自然地被解释为在普通统计力学中出现的那种认知概率。这样的 HV 描述可能没有实际用途，但人们倾向于认为它至少在原则上是可能的。然而，有两个强有力的定理表明这种描述受到严格的约束：在某些至少表面上看似合理的前提下，QM 不能用 HV 理论来补充。这两个定理中较为著名的是贝尔定理，它指出，在局部性前提下，HV 模型无法与 QM 的统计预测相匹配。第二个重要的、与高维理论相悖的定理是科亨和斯佩克定理（KS），该定理指出，在非语境性前提下（稍后将解释），某些量子力学可观测量集合根本无法被一致地赋值（即使在它们的统计分布问题出现之前）。

在详细探讨KS定理的运作方式之前，我们必须阐明它对科学哲学家的重要性。正如下文所述，高维解释的明确前提是值确定性：

（VD）所有为量子力学系统定义的可观测量在任何时候都具有确定的值。

（请注意，对于通常被视为量子力学的HV解释的玻姆力学来说，这一陈述必须加以限定。）[1] VD的动机是提出一个关于实验结果的看似无害的假设，这反映在将量子实验称为“测量”的习惯上，即，这些实验揭示了独立​​于测量而存在的值。（请注意，我们在此无需假设这些值由测量如实地揭示，只需假设它们存在即可！）这引出了第二个看似无害的假设，即非语境性假设：

（NC）如果一个量子力学系统拥有一个属性（可观测量的值），那么它的存在与任何测量语境无关，即与该值最终如何测量无关。

当应用于可以在不同的不相容测量中测量的特定属性时，NC 表示这些属性在这些不同的测量情况下是相同的。

现在，假设我们采用量子系统属性的通常关联，即是-否可观测量，以及系统希尔伯特空间上的投影算子。

（O）量子系统的属性与系统希尔伯特空间上的投影算子之间存在一一对应关系。

KS 定理建立了 VD + NC + O 与量子力学之间的矛盾；因此，接受量子力学（QM）在逻辑上迫使我们放弃VD、NC或O。

如果满足这些条件的HV理论可行，我们将对量子力学的统计特性有一个自然的解释，并找到一种优雅的方法来解决困扰所有量子力学解释者的臭名昭著的测量问题（详情请参阅量子力学条目和量子理论中的哲学问题条目中关于测量问题的部分）。KS定理表明，即使是最直接的满足这些条件的HV理论也不可行。HV方案只剩下违反一个或多个这些条件的选项；请参阅玻姆力学和量子力学的模态解释条目。

2.KS定理的背景

下文中，我们假设读者熟悉一些量子力学的基本概念，例如“状态”、“可观测量”、“值”及其数学表示“向量”、“（自伴随）算符”和“特征值”[详情参见量子力学条目]。我们通常会在适当的希尔伯特空间中识别可观测量及其对应的算符；如果需要区分算符和可观测量，我们会将算符用下划线和粗体字标出。（例如，算符A表示可观测量A。）

本节将阐述KS定理的一些历史和系统背景。最重要的是，需要参考冯·诺依曼（1932）的一个论证、格里森（1957）的一个定理、对两者的批判性讨论以及贝尔（1966）后来的论证。冯·诺依曼在其1932年出版的著名著作《量子力学的数学基础》中，对量子力学（QM）提供高维（HV）基础的可能性提出了质疑。他提出的论证可以归结为以下几点：考虑这样一个数学事实：如果A和B是自伴随算子，那么它们的任何实数线性组合（任意C = αA + βB，其中α和β为任意实数）也是自伴随算子。量子力学进一步表明：

如果A和B（分别用自伴随算子A和B表示）是系统上的可观测量，那么在同一系统上存在一个可观测量C（用之前定义的自伴随算子C表示）。

如果对于任何量子力学状态，A和B的期望值分别由＜A＞和＜B＞给出，那么C的期望值由＜C＞=α＜A＞ + β＜B＞给出。

现在考虑上述 A、B、C，并假设它们具有确定的值 v(A)、v(B)、v(C)。考虑一个“隐藏状态” V，它决定了 v(A)、v(B)、v(C)。然后，我们可以从 V 中推导出平凡的“期望值”，这些值就是它们所拥有的值本身：＜A＞V = v(A)，等等。[2] 当然，这些“期望值”通常不等于量子力学中的期望值：＜A＞V ≠ ＜A＞（我们实际上会将后者视为前者针对不同隐藏状态 V 的平均值！）。然而，冯·诺依曼要求 ＜A＞V 和 ＜A＞ 一样，符合 (2)。这自然意味着这些值本身必须符合与 (2) 平行的条件，即：

v(C) = αv(A) + βv(B)。

然而，这通常是不可能的。一个例子很容易说明 (3) 是如何被违反的，但由于其简单性，也表明了该论证的不足之处。 （这个例子并非冯·诺依曼本人所为，而是贝尔所为！[3]）设 A = σx 且 B = σy，则算符 C = (σx + σy)/√2 对应于沿平分 x 和 y 方向的自旋分量的可观测量。现在所有自旋分量（以适当的单位）都只有 ±1 的可能值，因此，高维函数 (HV) 的支持者被迫将 ±1 赋予 A、B、C 作为值，从而将其作为“期望值”。但 (3) 显然现在无法满足，因为 ±1 ≠ (±1 + ±1)/√2。

这个例子说明了为什么冯·诺依曼的论证无法令人满意。对于相容的可观测量，即根据量子力学，在一个排列中可以联合测量的可观测量，没有人会质疑从 (2) 到 (3) 的转变。然而，上述 A、B、C 的选择使得它们中的任意两个都不相容，即它们不是联合可观测的。对于这些，我们不希望要求任何高维解释满足 (3)，而只需满足 (2)。隐藏值通常不需要符合 (3)，只有它们在一系列测试中的平均值必须符合 (2)。冯·诺依曼论证的权威性源于这样一个事实：对于量子力学状态，要求 (1) 和 (2)是量子力学形式主义的推论，但这本身并不能证明将这些要求扩展到假设的隐藏状态是合理的。事实上，如果 (3) 完全正确，那么在存在隐藏值的情况下，这就能很好地解释为什么 (2) 成立。冯·诺依曼显然认为 HV 的支持者会坚持这种解释，但这似乎是一个难以信服的限制。

KS 定理弥补了这一缺陷，从而强化了反对 HV 理论的理由，因为它假设 (3) 仅对相互兼容的可观测量集 {A, B, C} 成立。该定理要求，只有兼容的可观测量才必须满足假设 (3)。

格里森定理 (Gleason 1957) 提供了导致 KS 定理的第二个独立思路。该定理指出，在维度大于或等于 3 的希尔伯特空间中，唯一可能的概率测度是测度 μ(Pα) = Tr(Pα W)，其中 Pα 是投影算子，W 是表征系统实际状态的统计算子，Tr 是迹运算。[4] Pα 可以理解为表示是或否可观测量，即对于存在于此类希尔伯特空间中的量子力学系统是否具有属性 α 的问题，并且每个可能的属性 α 都与空间中的向量 |α> 唯一关联——因此，任务是明确地为空间中的所有向量分配概率。现在，量子力学测度 μ 是连续的，因此格里森定理实际上证明了对三维希尔伯特空间中所有可能属性的每个概率分配都必须是连续的，即必须将空间中的所有向量连续映射到区间 [0, 1]。另一方面，HV理论（如果用VD + NC表征）意味着，对于每个属性，我们都可以判断系统是否具有该属性。这会产生一个平凡的概率函数，它将所有Pα映射到1或0，并且，假设值1和0同时出现（这很容易从将数字解释为概率中得出），该函数显然是不连续的（参见Redhead 1987: 28）。

格里森定理的证明极其复杂。然而，值得注意的是，格里森定理的这个推论可以通过比格里森证明中使用的方法更基本的方法更直接地获得。 Bell (1982: 994, 1987: 164) 认为 J. M. Jauch (1963 年) 注意到了 Gleason 定理，并指出该定理蕴含着冯·诺依曼结果的加强，且仅对可交换观测量满足可加性要求。Bell 随后以初等方式证明了该结果，并未使用 Gleason 的证明 (Bell 1966)。Bell 并不知道 Specker 早已得出此结果，Specker (1960 年) 在其著作《ein elementargeometrisches Argument》中提及（但未详细论述）。[5] 该论证由 Kochen 和 Specker (1967 年) 提出。Bell 的证明和 Kochen-Specker 的证明采用了三维希尔伯特空间中类似的构造，但在细节上有所不同。 Kochen 和 Specker 进一步明确地构造了一个有限的投影集，这些投影集在 A 和 B 可交换时，不能被赋值，因为加性要求 (3) 成立。虽然 Bell 没有这样做，但我们可以很容易地从 Bell 的构造中得到一个有限的可观测量集，这些可观测量在 A 和 B 可交换时，不能被赋值，因为加性要求 (3) 成立（参见 Mermin 1993）。在提出了他根据格里森定理反驳HV理论的变体论证之后，贝尔继续对其进行批判。他的策略与反对冯·诺依曼的策略相似。贝尔指出，他自己反对两个相反值点任意接近的格里森式论证预设了非交换可观测量值之间存在非平凡关系，而这种关系只有在非语境性（NC）假设下才能成立。他提出分析问题出在哪里，指出他自己的论证“默认假设对一个可观测量的测量必然得出相同的值，而与同时进行的其他测量无关”（1966: 9）。与冯·诺依曼相反，格里森式论证推导出类似（3）的赋值限制，但这些限制仅适用于相容可观测量集；但同一个可观测量仍然可以是不同交换集的成员，并且对于论证至关重要的是，该可观测量在两个集合中都被赋予相同的值，即该值的赋值对上下文无关。

3. KS定理的陈述与证明

3.1 KS定理的陈述

KS定理的一个明确陈述如下：

设H是一个由x≥3维的QM状态向量组成的希尔伯特空间。H上存在一个包含y个元素的可观测量集合M，且以下两个假设相互矛盾：

（KS1）M中所有y个元素同时具有值​​，即无歧义地映射到实数上（对于可观测量A、B、C、…，分别表示为v(A)、v(B)、v(C)、…）。

(KS2) M 中所有可观测量的值均满足以下约束：

(a) 如果 A、B、C 均相容且 C = A+B，则 v(C) = v(A)+v(B)；

(b) 如果 A、B、C 均相容且 C = A·B，则 v(C) = v(A)·v(B)。该定理的假设 KS1 显然与 VD 等价。假设 KS2 (a) 和 (b) 在文献中分别被称为“和规则”和“乘规则”。（读者应再次注意，与冯·诺依曼的隐式前提相反，这些规则仅非平凡地关联相容可观测量的值。）两者都是更深层次原理（称为函数组合原理 (FUNC)）的推论，而函数组合原理又是（以及其他假设）NC 的推论。NC、FUNC、和规则与乘规则之间的联系将在第 4 节中明确说明。

KS 定理声称存在一个具有特定属性（即 KS1 和 KS2 相矛盾）[6] 的集合 M，其证明过程是通过明确地给出这样一个集合，对于不同的 x 和 y 进行证明。在原始 KS 证明中，x=3，y=117。近期，涉及较少可观测量的证明（其中包括）包括Peres (1991, 1995) (x=3 和 y=33)、Kernaghan (1994) (x=4 和 y=20) 以及Cabello et al. (1996) (x=4 和 y=18) 等人给出的证明。KS 证明极其复杂，我们将在3.4节中对其进行简要概述。Peres 证明充分且简洁地建立了 KS 结果，而且由于它在三维空间中运作，因此其证明方式直观易懂；我们推荐读者参阅 Peres (1995: 197–99)。Kernaghan 和 Cabello et al. 的证明分别在四维空间中建立了一个矛盾。当然，这些结果比 KS 定理要弱（因为三维空间中的任何矛盾在高维空间中也是矛盾的，但反之则不然）。然而，其他证明非常简单且具有启发性。此外，可以证明（Pavičić et al. 2005），y=18 是 KS 定理成立的最小数。因此，我们首先在3.2节中展示Cabello及其同事的证明。最后，在3.5节中，我们解释了Clifton (1993) 的一个论证，其中x=3，y=8，并附加一个统计假设，由此得出一个简单且富有启发性的KS论证。

3.2 四维空间中的快速KS论证（Cabello等人）

一个特别简单的KS论证在四维希尔伯特空间H4中进行。我们将使用以下内容，这将在下一节中得到证明：

(1) 从KS2，我们可以推导出对投影算子赋值的约束，即对于每一组投影算子P1、P2、P3、P4，对应于可观测量Q在H4上的四个不同特征值q1、q2、q3、q4，以下成立：

(VC1′) v(P1) + v(P2) + v(P3) + v(P4) = 1，其中v(Pi) = 1或0，i = 1, 2, 3, 4。

（(VC1′)是(VC1)的一个变体，我们将在下一节中明确证明。）这实际上意味着，在H4中的每组四条正交射线中，恰好有一条被赋值为1，其他的都被赋值为0。

(2) 虽然定理中提到的希尔伯特空间为了适用于量子力学（QM），必须是复空间，但它是为了证明断言 KS1 和 KS2 的不一致性，只需考虑一个同维实数希尔伯特空间即可。因此，我们不再考虑 H4，而是考虑一个实数希尔伯特空间 R4，并将 VC1′ 转化为以下要求：在 R4 中，每组正交射线中，恰好有一组被赋值为 1，其他的赋值为 0。按照文献中的惯例，我们将所有这些转化为以下着色问题：在 R4 中，每组正交射线中，恰好有一组被染成白色，其他的被染成黑色。然而，这是不可能的，如下表（Cabello et al. 1996）所示：

0,0,

0,1 0,0,

0,1 1,−1,

1,−1 1,−1,

1,−1 0,0,

1,0 1,−1,

−1,1 1,1,

−1,1 1,1,

−1,1 1,1,

−1,1 1,1,

1,−1

0,0,

1,0 0,1,

0,0 1,−1,

−1,1 1,1,

1,1, 0,1,

0,0 1,1,

1,1 1,1,

1,−1 −1,1,

1,1 −1,1,

1,1

1,1,

0,0 1,0,

1,0 1,1,

0,0 1,0,

−1,0 1,0,

0,1 1,0,

0,−1 1,−1,

0,0 1,0,

1,0 1,0,

0,1

1,−1,

0,0 1,0,

−1,0 0,0,

1,1 0,1,

0,−1 1,0,

0,−1 0,1,

−1,0 0,0,

1,1 0,1,

0,−1 0,1,

−1,0

此表中有 4 x 9 = 36 个条目。这些条目取自一组 18 条射线，每条射线出现两次。很容易验证，表中的每一列都代表一组四条正交射线。由于共有 9 列，因此最终表中被染成白色的条目数量必然是奇数。然而，由于每当我们将其中一条射线染成白色时，每条射线都会出现两次，因此我们承诺将偶数个条目染成白色。由此可见，表中被染成白色的条目总数必然是偶数，而不是奇数。因此，不可能根据 VC1′ 对这 18 条射线进行染色。 （请注意，论证的第一部分——“奇数”的论证——仅使用了VC1′，而第二部分——“偶数”的论证——主要依赖于NC，即假设同一条射线在不同列中出现时会被赋予相同的编号！）

3.3 原始KS论证。技术准备。

原始KS证明在三维复希尔伯特空间H3上运行。它需要两点：(1) 在H3中正交的射线三元组集；(2) 一个约束，即每个正交三元组中，一条射线被赋予编号1，另外两条射线被赋予编号0。这两个约束可以通过以下方式实现：

我们考虑H3上的任意算子Q，它具有三个不同的特征值q1、q2、q3，其特征向量|q1＞、|q2＞、|q3＞，以及投影算子P1、P2、P3，这些投影算子分别投影到由这些向量构成的射线上。现在，P1、P2、P3 本身就是可观测量（即，Pi 是一个“是-否可观测量”，对应于问题“系统 Q 的值是否为 qi？”。此外，P1、P2、P3 相互兼容，因此我们可以应用加法规则和乘法规则，从而推导出值赋值的约束（证明）：