古代逻辑（二）

亚里士多德超越了他的基本三段论，将第三和第四个第一格三段论简化为第二格三段论，从而事实上将所有三段论都归结为 Barbara 和 Celarent；后来在《前分析篇》中，他援引了一种切割规则，通过该规则可以将多前提三段论简化为两个或更多个基本三段论。从现代的角度来看，亚里士多德的系统可以理解为自然演绎风格的后继逻辑，以及一阶逻辑的一部分。如果将直言句表达的关系在集合论上解释为一个非空类系统，则它已被证明是健全和完备的，如下所示：当且仅当类 A 包含类 B 时，AaB 为真。当且仅当类 A 和 B 不相交时，AeB 为真。当且仅当类 A 和 B 不相交时，AiB 为真。当且仅当类 A 不包含类 B 时，AoB 才为真。然而，人们普遍认为亚里士多德的三段论是一种关联逻辑，而非经典逻辑。关于亚里士多德所说的“三段论”究竟指什么，这个令人困惑的文本问题有几种相互矛盾的解释，其中一种解释认为它们是某种条件命题形式。或许最合理的解释是，亚里士多德的完全三段论和不完全三段论合在一起应该被理解为形式上有效的前提-结论论证；而他的完全三段论和完备三段论合在一起应该被理解为（合理的）演绎。

2.5 模态逻辑

亚里士多德也是模态逻辑的创始人。除了质（如肯定或否定）和量（如单数、全称、特称或不定数）之外，他还认为直言句具有模态；这包括这样的事实：谓语被认为实际上、必然、可能、偶然或不可能地适用于主语。后四种情况用修饰谓词的情态算子来表达，例如“A对某些B成立是可能的”；“A对每个B必然成立”。

在《论解释》第12-13页中，亚里士多德（i）得出结论，情态算子修饰的是整个谓词（或他所说的系词），而不仅仅是句子的谓词项。（ii）他阐明了情态算子之间的逻辑关系，例如“A对B不成立是不可能的”意味着“A对B必然成立”。（iii）他考察了情态化句子的矛盾性，并断定这些矛盾性是通过将否定词置于情态算子前面而获得的。（iv）他将“可能的”和“偶然的”这两个表达等同起来，但在片面解释（必然性意味着可能性）和双面解释（可能性意味着非必然性）之间摇摆不定。

亚里士多德在《前分析篇》1.8-22中发展了他的模态三段论。他确定了双边可能性（偶然性），并检验了所有可能的句子前提对组合是否符合三段论，这些句子的前提对包含必然性（N）、偶然性（C）或无（U）模态算符：NN、CC、NU/UN、CU/UC 和 NC/CN。包含后三种前提组合的三段论被称为混合模态三段论。除了 NN 类别（它反映了非模态三段论）外，所有类别都包含可疑的情况。例如，亚里士多德接受：

A 必然适用于所有 B。

B 适用于所有 C。

因此 A 必然适用于所有 C。

这个以及其他一些有问题的情况在古代就已引起争议，并在近代引发了一系列对亚里士多德模态三段论的复杂形式化重构。由于亚里士多德的理论可能存在内部矛盾，所有已提出的形式模型可能都无法成功。

3. 早期逍遥学派：泰奥弗拉斯托斯和尤德摩斯

亚里士多德的学生和继承人埃里索斯的泰奥弗拉斯托斯（约公元前371年-约公元前287年）撰写的逻辑论著比他的老师更多，主题也有很大重叠。罗德岛的尤德摩斯（公元前4世纪后期）撰写了《范畴》、《分析》和《论言语》等著作。所有这些著作中，只有一些残篇和后期证词留存至今，主要出自亚里士多德的评论家之手。泰奥弗拉斯托斯和尤德摩斯简化了亚里士多德逻辑的某些方面，并在亚里士多德仅留下线索的地方发展了其他方面。

3.1 对亚里士多德逻辑的改进与修正

两位逍遥学派似乎重新定义了亚里士多德的第一格，使其涵盖所有中间项为一个前提的主语、另一个前提的谓语的三段论。如此一来，亚里士多德在其《前分析篇》中才提及的五种非模态三段论（Baralipton、Celantes、Dabitis、Fapesmo和Frisesomorum）也被纳入其中，但亚里士多德放弃了第一格三段论显而易见的标准（泰奥弗拉斯托斯，第91页，Fortenbaugh）。泰奥弗拉斯托斯和欧德谟也改进了亚里士多德的模态理论。泰奥弗拉斯托斯用单边可能性取代了亚里士多德的双边偶然性，因此可能性不再蕴含非必然性。两人都认识到，有问题的全称否定（“A 可能不成立，B 也不成立”）是可以简单转换的（泰奥弗拉斯特斯，引自 102A Fortenbaugh）。此外，他们还引入了这样一个原则：在混合模态三段论中，结论总是与较弱的前提具有相同的模态特征（泰奥弗拉斯特斯，引自 106 和 107 Fortenbaugh），其中可能性弱于现实性，现实性弱于必然性。这样，亚里士多德的模态三段论就得到了显著简化，许多不令人满意的命题，例如上面提到的命题（即从“必然是 AaB”和“BaC”可以推出“必然是 AaC”）消失了。

3.2 预示性三段论

泰奥弗拉斯托斯引入了所谓的预示性前提和三段论（泰奥弗拉斯托斯，引自 Fortenbaugh，110）。预示性前提的形式如下：

对于所有 X，如果 Φ(X)，则 Ψ(X)

其中 Φ(X) 和 Ψ(X) 代表变量 X 代替其中一个项出现的直言句。例如：

A[成立] 了 B[成立] 的所有条件。

A 对所有 B 成立的条件都不成立。

泰奥弗拉斯托斯认为这样的前提包含三个项，其中两个是定项（A，B），一个是不定项（“那”，或称约束变量 X）。我们可以将 (1) 和 (2) 表示为

∀X (BaX → AaX)

∀X (XaB → AeX)

因此，前置三段论如下：它们由前置前提、通过在先行句“开放式直言句”中实例化一个项 (C) 作为前提而得到的直言前提，以及通过在后继句“开放式直言句”中放入相同项 (C) 作为结论而得到的直言句组成。例如：

A 对 B 成立的条件中的所有内容都成立。

B 适用于所有 C。

因此，A 适用于所有 C。

泰奥弗拉斯托斯根据不定项（也称为“中间项”）在引言前提中的位置，将这些三段论区分为三种格型；例如，(1) 产生第三格三段论，(2) 产生第一格三段论。引言三段论的数量大概等于引言句子类型的数量：按照泰奥弗拉斯托斯的第一格概念，引言三段论的数量应为 64 种（即 32 + 16 + 16）。泰奥弗拉斯托斯认为，某些陈述性前提等同于某些直言句，例如 (1) 等同于“A 谓述所有 B”。然而，包括 (2) 在内的许多陈述都无法找到这样的等价物，因此陈述性三段论增强了逍遥逻辑的推理能力。

3.3 肯定前件式和否定后件式的先驱

泰奥弗拉斯托斯和欧德默斯考虑了一些复杂的前提，他们称之为“假设性前提”，这些前提具有以下两种（或类似）形式之一：

如果某物是 F，那么它就是 G

某物要么是 F，要么是 G（带有排他性“或”）。

他们用这些前提发展出了一种论证，称之为“由假设性前提和可证明性前提混合而成的论证”（泰奥弗拉斯托斯，引自《福滕鲍》，112A）。这些论证受到亚里士多德“基于假设”的三段论的启发（《论证方法》1.44）；它们是肯定前件论证和肯定后件论证的前身，并具有以下形式（泰奥弗拉斯特斯，引自《福滕鲍》111 和 112 页），使用了排他性的“或”：

如果某物是 F，那么它就是 G。

a 是 F。

因此，a 是 G。如果某物是 F，那么它就是 G。

a 不是 G。

因此，a 不是 F。

要么某物是 F，要么它是 G。

a 是 F。

因此，a 不是 G。要么某物是 F，要么它是 G。

a 不是 F。

因此，a 是 G。

泰奥弗拉斯特斯还认识到连接词“或”可以是包含性的（泰奥弗拉斯特斯，引自《福滕鲍》82A 页）；他还研究了相对量化的句子，例如包含“更多”、“更少”和“相同”的句子（泰奥弗拉斯特斯，出自89页 Fortenbaugh），并且似乎讨论了由这些句子构建的三段论，这再次延续了亚里士多德关于由假设构建三段论的观点（泰奥弗拉斯特斯，出自111E页 Fortenbaugh）。

3.4 完全假设三段论

泰奥弗拉斯托斯还被认为发明了后来所谓的“完全假设三段论”体系（泰奥弗拉斯托斯，引自《福滕鲍》113页）。这些三段论最初是术语逻辑论证的缩写，例如：

如果[某事物是] A，[它]就是B。

如果[某事物是] B，[它]就是C。

因此，如果[某事物是] A，[它]就是C。

其中至少有一些被认为可以归结为亚里士多德的范畴三段论，大概是通过与“所有A都是B”等价的推理来实现的。与亚里士多德的三段论类似，泰奥弗拉斯托斯区分了三种格；每种格有十六种模式。第一个图的前八种模态是通过用“非X”代替“X”（用X代表A、B、C）进行所有排列组合得到的；后八种模态是通过对结论运用对立定理得到的：

（CR）

从“如果X，Y”推出“如果Y的矛盾，则X的矛盾”

第二个图的十六种模态是通过在第一图论证的第一个前提的框架上使用（CR）得到的，例如：

如果[某事物]不是B，那么[它]就不是A。

如果[某事物]是B，那么[它]就是C。

因此，如果[某事物]是A，那么[它]就是C。

第三个图的十六种模态是通过在第一图论证的第二个前提的框架上使用（CR）得到的，例如：

如果[某事物]是A，那么[它]就是B。

如果[某事物]不是C，那么[它]就不是B。

因此，如果[某事物]是A，那么[它]就是C。

泰奥弗拉斯托斯声称，所有第二格和第三格三段论都可以化简为第一格三段论。如果阿芙罗狄西亚的亚历山大（公元2世纪逍遥学派）如实记载，任何使用(CR)将三段论转化为第一格三段论的做法，都属于此类化简。大量的模式和归约可以解释为，泰奥弗拉斯托斯缺乏用论证中的正成分替代反成分的逻辑方法。在古代晚期，经过一些中间阶段之后，可能受到斯多葛学派的影响，完全假设的三段论被解释为如下类型的命题逻辑论证：

如果p，则q。

如果q，则r。

因此，如果p，则r。

4. 狄奥多罗斯·克洛诺斯和逻辑学家斐洛

公元前4世纪末至公元前3世纪中期，与泰奥弗拉斯托斯和欧德摩斯同时代，一群联系松散的哲学家，有时被称为辩证法家（参见“辩证法学派”条目），可能受到欧布利德斯的影响，将逻辑视为命题逻辑。他们最著名的代表人物是狄奥多罗斯·克洛诺斯和他的学生斐洛（有时被称为“麦加拉的斐洛”）。虽然他们的著作均未留存，但后世关于其学说的记载颇多。他们各自为命题逻辑的发展做出了开创性的贡献，尤其是在条件句和模态句理论方面。

条件句（sunêmmenon）被认为是一个由两个命题和一个连接词“如果”组成的非简单命题。菲洛，或许是将真值函数引入逻辑的先驱，他为这些命题的真值提供了以下标准：一个条件句当且仅当其前件为真且其后件为假，并且在其余三种真值组合中为真时，才为假。菲洛的条件句类似于实质蕴涵，不同之处在于——由于命题被认为是时间的函数，在不同时间可以具有不同的真值——它的真值可能会随着时间而改变。对于狄奥多罗斯来说，如果一个条件命题的前提为真而后件为假，既不可能也不可能，则该命题为真。此论述中的时间元素表明，菲洛条件句中真值变化的可能性是有意改进的。应用他自己的模态概念（见下文），一个条件句现在为狄奥多罗斯式真，当且仅当它在任何时候都是菲洛式真。因此，狄奥多罗斯的条件句让人联想到严格蕴涵。菲洛和狄奥多罗斯的条件句概念导致了物质蕴涵和严格蕴涵“悖论”的变体——古人对此有所了解（塞克斯都·恩披里柯[S. E.] M. 8.109–117）。

菲洛和狄奥多罗斯各自考虑了四种模态：可能性、不可能性、必然性和非必然性。这些模态被认为是命题的模态属性或模态值，而不是模态算符。斐洛对它们作出如下定义：“可能的是，就命题本身而言，它能够为真……必然的是指，它为真，并且就其本身而言，它不能为假。非必然的是指，就其本身而言，它能够为假，不可能的是指，就其本身而言，它不能为真。”狄奥多罗斯的定义如下：“可能的是，它现在是或将是[真]；不可能的是指，它为假，并且不会为真；必然的是指，它为真，并且不会为假；非必然的是指，它已经为假，或者将会为假。”这两组定义都满足模态逻辑的以下标准要求：(i) 必然性蕴含真理，真理性蕴含可能性；(ii) 可能性与不可能性是矛盾的，必然性和非必然性也是如此；(iii) 必然性和可能性是可以相互定义的；(iv) 每个命题要么是必然的，要么是不可能的，要么既是可能的又是非必然的。菲洛的定义似乎仅仅引入了概念模态，而狄奥多罗斯的定义则可能改变某些命题的模态值（Boeth. In Arist. De Int., sec. ed., 234–235 Meiser）。

狄奥多罗斯对可能性的定义排除了未来的偶然性，并暗示了一个违反直觉的论点，即只有现实才是可能的。狄奥多罗斯试图用他著名的“大师论证”来证明这一论证，该论证旨在表明以下三者之间的不相容性：(i)“所有过去的真理都是必然的”，(ii)“不可能的事情并非源于可能的事情”，以及(iii)“某些既不是真的也不是真的的事情是可能的”（Epict. Diss. II.19）。该论证已不复存在，但人们提出了各种重构方案。这可能与亚里士多德《论解释》第九章中关于逻辑决定论的论证有某种相似之处。

关于歧义性，狄奥多罗斯认为，任何语言表达都不是模棱两可的。他用基于说话者意图的意义理论来支持这一论断。说话者说话时通常只想表达一件事。他们说话时所说的内容就是他们想要表达的内容。说话者意图与听者解读之间的任何差异，其原因都在于所说内容的模糊性，而非其歧义性（奥卢斯·格利乌斯，11.12.2-3）。

5. 斯多葛学派

斯多葛学派的创始人，西提翁的芝诺（公元前335-263年）曾师从狄奥多罗斯。他的继任者克莱安西斯（331-232）试图通过否认每个过去的真理都是必然的来解决主论证，并撰写了关于悖论、辩证法、论证模式和谓词的书籍（现已丢失）。两位哲学家都将逻辑知识视为美德，并对其推崇备至，但他们似乎并非富有创造力的逻辑学家。相比之下，克里安西斯的继承者索利的克吕西普斯（约280-207）无疑是逻辑史上第二位伟大的逻辑学家。据说，如果神明使用任何逻辑，那一定是克吕西普斯的逻辑（D. L. 7.180），他作为杰出逻辑学家的声誉已得到充分证明。克里西普斯写了 300 多本关于逻辑的书，几乎涉及当今逻辑所涉及的所有主题，包括言语行为理论、句子分析、单数和复数表达、谓词类型、指示词、存在命题、句子连接词、否定、析取、条件、逻辑结果、有效论证形式、演绎理论、命题逻辑、模态逻辑、时态逻辑、认识论逻辑、假定逻辑、命令逻辑、模糊性和逻辑悖论，特别是说谎者和连锁推理（D. L. 7.189–199）。在所有这些文献中，只有两份严重破损的莎草纸幸存下来，幸运的是，后期文献中补充了大量残片和证词，尤其是在狄奥吉尼斯·拉尔修（D. L.）的《皮浪主义纲要》（第7卷）第55-83节，以及塞克斯都·恩披里柯的《皮浪主义纲要》（S. E. PH）第2卷和《反数学家》（S. E. M）第8卷中。克吕西普的继承者，包括巴比伦的狄奥吉尼斯（约240-152年）和塔尔苏斯的安提帕特（公元前2世纪），似乎系统化并简化了他的一些思想，但他们对逻辑学的原创贡献似乎很小。许多关于斯多葛逻辑的证词并没有具体点名哪个斯多葛学派。因此，以下段落只是泛指“斯多葛学派”；但我们可以确信，现存的大部分资料可以追溯到克吕西普。

5.1 命题逻辑之外的逻辑成就

斯多葛逻辑的主题是所谓的可说词（lekta）：它们是我们所说和所想一切事物的根本意义，但——就像弗雷格的“意义”一样——也独立于我们而存在。它们不同于口头和书面的语言表达：我们所说的是那些表达，但我们所说的才是可说词（D. L. 7.57）。可说词有完整的和不完整的之分。不完整的可说词如果被说出，会促使听者要求其完成；例如，当有人说“写”时，我们会问“谁？”。完整的可说词如果被说出，不会促使听者要求其完成（D. L.7.63）。它们包括可断言句（斯多葛学派的命题对应词）、祈使句、疑问句、询问句、感叹句、假设或假定、规定、誓言、诅咒等等。对不同完整可说句的描述都具有一般形式“某某可说句是我们执行某某行为的可说句”。例如：“祈使句是我们在说命令时说的话”，“疑问句是我们在说问题时说的话”，“宣告句（即可言句）是我们在说断言时说的话”。因此，根据斯多葛学派的说法，每次我们说一个完整的可说句时，我们都执行了三种不同的行为：我们发出一个语言表达；我们说该可说句；我们执行一个言语行为。克吕西普斯知道使用-提及的区别（D. L. 7.187）。他似乎认为，每一个指称表达式都是模棱两可的，因为它既指称其指称对象，也指称其自身（盖伦，《论语言学》第4卷；奥鲁斯·格利乌斯，第11.12.1卷）。因此，“一辆马车”这个表达式既指一辆马车，又指“一辆马车”。[2]

可断言（axiômata）与所有其他完整的可说性不同，因为它们具有真值：在任何时候，它们要么为真，要么为假。真理具有时间性，可断言的真值可能会改变。因此，斯多葛学派的二值性原则也是时间化的。真理是通过例子来引入的：可断言“现在是白天”在白天为真，在其他所有时间均为假 (D. L. 7.65)。这表明了某种对真理的紧缩论观点，正如斯多葛学派将真可断言等同于事实，而将假可断言简单地定义为真可断言的矛盾 (S. E. M 8.85)。

可断言可以是简单的，也可以是非简单的。像“狄翁在走路”这样的简单表语可断言是由谓语“在走路”生成的，这是一个不充分的可断言，因为它引出了“谁？”这个问题，以及一个主格（狄翁的个体性质或相关的可说词），可断言将其呈现为属于谓语（D. L. 7.63 和 70）。因此，这里不存在像亚里士多德那样的谓语和主语词的互换性；相反，谓语——而不是属于谓语的事物——被定义为不充分的，因此类似于命题功能。似乎有些斯多葛学派采取了弗雷格式的单称词具有相关的可说词的方法，而另一些人则预见了直接指称的概念。关于指示词，斯多葛学派认为，当说话者指着的人在走路时，像“这个人在走路”这样的简单确定可断言就是真的（S. E. M 100）。