传统的对立方格（二）

5.2 带有空项的肯定命题

带有空项主语的全称肯定命题为假，这一事实与亚里士多德的科学理论存在问题。亚里士多德认为“每个人都是动物”是一个必然真理。如果是这样，它在任何时候都是正确的。因此，在任何时候，它的主体都是非空的。因此，任何时候都有人。但主流神学认为，在创世末日之前不存在人类。因此，存在矛盾。

奥卡姆通过放弃亚里士多德理论的部分内容来回避这个问题：

尽管这与亚里士多德的文本相冲突，但根据真理，在那些完全关注易腐烂事物的命题中，没有任何一个完全肯定且完全关于当下的命题能够成为原理或论证结论，因为任何这样的命题都是偶然的。因为如果某些这样的命题是必然的，那么对于“人是理性的动物”这个命题来说尤其如此。但这是偶然的，因为它遵循“人是理性的动物，因此人是动物”，并且进一步“因此人是由身体和感知的灵魂组成的”。但这是偶然的，因为如果没有人类，那么由于隐含的[事物]是错误的，那么这句话就是错误的，因为它暗示了某物是由肉体和灵魂组成的，而肉体和灵魂又是错误的。[奥卡姆SL III.2.5]

如果科学理论中的命题具有特殊含义，这种矛盾也可能消失。一种可能性是，在科学理论中，全称肯定句被理解为全称化条件句，就像今天人们所理解的那样。这并不妨碍它们在科学理论之外的用法中不是条件句。尽管De Rijk (1973, 52) 表示奥卡姆持有这种观点，但他似乎明确地否定了这种观点。“人是理性的动物”并不等同于“如果人是，那么人就是理性的动物”，因为这是条件句而非范畴句。[奥卡姆 SL II.11]

布里丹的观点更为简洁。他认为，在研究科学理论时，研究对象不仅限于当前存在的事物。相反，这些命题具有其通常的含义，但其范围有所扩展。当使用“人”一词时，人们讨论的是每个人，包括过去和未来，甚至可能的人类。[布里丹 SdD 4.3.4] 有了这样的理解，“每个人都是动物”这一主题就并非空洞无物了。

4逻辑研究在接下来的几个世纪里持续进行，尽管其中大部分内容都已失传，影响甚微。但空洞术语这一主题得到了正视，中世纪传统中给出的解决方案与[SQUARE]相一致。我在此引用了Ashworth 1974, 201–202的文章，他报告了中世纪后关于对位论的讨论中最常见的主题。其中一个主题是，对位论应用于全称或空项时无效，原因正如布里丹所给出的那样。O形式被明确地认为缺乏存在意义。第二个主题，Ashworth认为是最常见的说法，也出现在布里丹的著作中：诸如对位论之类的附加推论，在附加一个断言相关项非空的前提后，就会变得有效。

5.3 一个奇特之处

有一种至少出现过两次的奇怪观点，其结果可能是不存在空项。13世纪，拉尼的兰伯特（有时也被称为欧塞尔的兰伯特）提出，像“嵌合体”（chimera）这样表示不存在之物的术语必须“回归到不存在之物”。“因此，如果我们假设玫瑰不存在，那么‘玫瑰’一词就代表不存在的事物。”[19] 一种相关的观点也出现在很久以后；阿什沃思（Ashworth）指出，孟格斯·布兰切卢斯·法文提努斯（Menghus Blanchellus Faventinus）认为，诸如“非人”（nonman）之类的否定词适用于非存在物，并由此得出结论，“非人是嵌合体”（A nonman is a chimera）也适用于非存在物。[20] 然而，这两种观点似乎都没有得到清晰的发展，也没有被广泛接受。[21] 也不清楚这两种观点是否应该得出“不存在空词”的结论。

5.4 现代、文艺复兴和十九世纪

根据阿什沃思（Ashworth）的观点[22]，对逻辑的严肃而复杂的研究大约在十六世纪的第三个十年结束。接下来（十七世纪）的波特罗亚尔逻辑（Port Royal Logic）似乎在其方法上具有典型性：其作者经常暗示逻辑是琐碎且不重要的。它的学说包括对立平方的学说，但对O形式的讨论却非常模糊，以至于没有人能够确定其确切的真值条件，而且尽管作者指出E形式蕴含O形式（第三部分第三章的第四个推论），但显然没有意识到存在意义的问题。这似乎预示着接下来一段时间流行教材的典型特征。在19世纪，英美两国使用最广泛的教科书似乎是Whately的《逻辑要素》。Whately给出了传统的平方学说，但并未讨论存在意义或空洞术语的问题。他列举了存在问题的对立原则（他称之为“否定转换”）：

所有S都是P = 所有非P都是非S

他还赞同倒置原则：[23]

某些A不是B等同于某些A不是B，因此可以转换为某些非B是A。

他说，这一原则“在奥尔德里奇的著作中没有发现”，但“经常使用”。[24] 这种“频繁使用”一直延续至今；19世纪末和20世纪初，英美的教科书继续支持倒置原则（也称为“无限”或“置换”）和对立原则（也称为“推论转换”）。[25] 这一完整的19世纪传统仅在于禁止使用空洞（和普遍）术语的假设上是一致的，但作者似乎并未意识到这一点；凯恩斯（1928，第126页）慷慨地指出：“这一假设似乎在传统的逻辑处理中已经隐含地做出了。”德·摩根在明确这一假设方面与众不同：在他1847年的文本（第64页）中，他禁止使用全称项（空项隐含地消失，因为如果A为空，则非A将是全称的），但后来在同一文本（第111页）中，他为忽略空项辩护，认为这是一种理想化，之所以采用这种说法，是因为并非所有读者都是数学家。[26]

在20世纪，卢卡谢维奇也发展了一种明确依赖于空项缺失的三段论版本；他将该系统归功于亚里士多德，从而有助于培育古人不知道空项存在的传统。

如今，逻辑文本分为基于当代逻辑的文本和源自亚里士多德传统或19世纪传统的文本，但即使是许多教授三段论的文本，也使用以现代方式解释的形式来教授它，例如下位替换消失了。因此，传统的正方形，按照传统的解释，现在基本上被抛弃了。

6. 斯特劳森的辩护

在20世纪，人们创造性地运用逻辑工具和技术来重新评估过去的学说。人们自然会想，是否存在某种巧妙的正方形解释，将存在的意义赋予O形式，并在不禁止使用空或全称术语的情况下使其完全有意义，从而调和传统学说与现代观点。彼得·吉奇（Peter Geach，1970，62-64）表明，这可以通过一种非自然的解释来实现。彼得·斯特劳森（Peter Strawson，1952，176-78）则有一个更宏伟的目标。斯特劳森的想法是通过采用一种非经典的陈述真值观，并重新定义有效性的逻辑关系来证明正方形的合理性。首先，他提出，我们需要假设一个主项为空的命题既非真亦非假，而是完全缺乏真值。然后，我们说 Q 蕴涵 R，仅当不存在 Q 和 R 的实例，使得 Q 的实例为真而 R 的实例为假时。例如，A 形式“每个 S 都是 P”蕴涵 I 形式“某个 S 是 P”，因为当 I 形式的对应实例为假时，不存在 A 形式的实例为真。涉及空项的棘手情况最终会变成其中一个或两个形式都缺乏真值的情况，而这些情况就蕴涵而言无关紧要。根据这种对蕴涵的修正，所有“传统”逻辑关系都成立，如果它们表述如下：

矛盾：A 形式和 O 形式互相蕴涵对方的否定，E 形式和 I 形式也是如此。A 形式的否定蕴涵（未否定的）O 形式，反之亦然；E 形式和 I 形式也是如此。反面：A 形式和 E 形式互相蕴涵对方的否定。

次反面：I 形式的否定蕴涵（非否定的）O 形式，反之亦然。

次级替换：A 形式蕴涵 I 形式，E 形式蕴涵 O 形式。

逆命题：E 形式和 I 形式各自蕴涵各自的逆命题。

对立命题：A 形式和 O 形式各自蕴涵各自的对立命题。

正命题：每种形式都蕴涵各自的正命题。

然而，这些学说并非 [SQUARE] 的学说。[SQUARE] 的学说完全是基于真值的可能性，而非蕴涵来表述的。因此，“蕴涵”与 [SQUARE] 无关。事实证明，斯特劳森对真值条件的修订确实保留了 SQUARE 的原理（这些原理很容易通过案例检验），[27] 但没有保留 [SQUARE] 的附加转换原理，也没有保留传统的对立或倒置原理。例如，斯特劳森重新诠释的转换原理适用于 I 形式，因为任何 I 形式命题都蕴含其自身的逆命题：如果“某些 A 是 B”和“某些 B 是 A”都具有真值，则两者都没有空的主语项，因此，如果两者都不缺乏真值，并且其中一个为真，则另一个也为真。但原始的转换原理认为，I 形式及其逆命题始终具有相同的真值，而根据斯特劳森的解释，这是错误的；如果存在 A 但没有 B，则“某些 A 是 B”为假，“某些 B 是 A”根本没有真值。对立和倒置也得出类似的结果。

斯特劳森所讨论的“传统逻辑”与十九世纪的逻辑文本更为接近，而不是与之前两千年来盛行的逻辑版本更为接近。[28] 但即使他确实挽救了19世纪逻辑的一个版本，他所保留的观点也无法服务于逻辑原则的制定目的，正如蒂莫西·斯迈利1967年在《心灵》杂志上的一篇短文所指出的那样。[29] 人们总是用正方形来体现人们可以推理的原则，并以此构建延伸的推理链。但如果你把斯特劳森的蕴涵串联起来，你就可以从真理中推断出谬误，这是任何传统中都不会认为合理的。例如，从这个真理开始（主语是非空）：

没有人是嵌合体。

通过转换，我们得到：

没有一个嵌合体是人。

通过反转：

每个嵌合体都是非人。

通过从属替换：

某些嵌合体是非人。

通过转换：

某些非人是嵌合体。

由于存在非人类，结论并非无真值，而由于不存在嵌合体，结论是错误的。因此，我们从一个正确的主张转向了一个错误的主张。（该示例甚至不涉及有问题的O形式。）所有步骤都得到了斯特劳森学说的验证。因此，斯特劳森达到了他的目标，即保留某些通常被认为构成传统逻辑的模式，但代价是牺牲了逻辑在扩展推理中的应用。