传统的对立方格（一）_数学联邦政治世界观

本条目追溯了对立方格的历史发展，它是传统上以方格图体现的一系列逻辑关系。这一理论体系为两千多年的逻辑研究奠定了基础。在这段历史的大部分时间里，逻辑学家们假设，如果否定特定命题（“某些 S 不是 P”）的主项为空，则其为空真。这验证了方格图中体现的逻辑定律，并使该理论免受现代批评。有时，某些附加原则（“对立”和“反转”）与对立方格同时被采用，并且它们确实导致了不一致。到了十九世纪，一套不一致的理论被广泛采用。斯特劳森1952年试图恢复“广场”的尝试并不适用于传统学说；它确实挽救了19世纪的版本，但代价是，当把真假串联起来时，就会产生从真到假的推论。

1. 引言

1.1 正方形的现代修订

1.2 反对传统正方形的论证

2. 对立正方形的起源

2.1 图解

2.2 亚里士多德对O形式的表述

2.3 O形式的改写

3. 三段论的（不）相关性

4. 反置原则和倒置原则

5. 后期发展

5.1 带有空项的否定命题

5.2 带有空项的肯定命题

5.3 奇闻轶事

5.4 现代、文艺复兴和十九世纪

6. 斯特劳森的辩护

参考文献

学术工具

其他网络资源

1.引言

对立方理论起源于公元前四世纪的亚里士多德，此后一直出现在逻辑学著作中。尽管近几十年来受到严厉批评，但至今仍被频繁提及。本文旨在从21世纪初的视角追溯其历史，并探讨与之密切相关的空洞术语。

对立方理论是一组以图表形式呈现的论题。图表并非论题的本质，只是一种使论题清晰易懂的有效方法。这些论题涉及四种逻辑形式之间的逻辑关系：

名称形式标题

A 所有S都是P的全称肯定句

E 没有S是P的全称否定句

I 某些S是P的特称肯定句

O 某些S不是P的特称否定句

传统对立方的图表如下：

传统方格

我将此图表中所体现的论题称为“方格”。它们是：

正方形

“所有 S 都是 P”和“某些 S 不是 P”相互矛盾。

“没有 S 是 P”和“某些 S 是 P”相互矛盾。

“所有 S 都是 P”和“没有 S 是 P”相互对立。

“某些 S 是 P”和“某些 S 不是 P”相互对立。

“某些 S 是 P”是“所有 S 都是 P”的下级命题。

“某些 S 不是 P”是“没有 S 是 P”的下级命题。

这些命题补充了以下解释：

两个命题相互矛盾，当且仅当它们不能同时为真，也不能同时为假。

两个命题相互对立，当且仅当它们不能同时为真，但可以同时为假。

两个命题相互对立，当且仅当它们不能同时为假，但可以同时为真。

一个命题是另一个命题的下级命题当且仅当它的上级命题为真时它必定为真，且如果它的下级命题为假时上级命题必定为假。二十世纪之前，或许没有人会完全持有这些观点，而同时又持有一些密切相关的观点。与传统图表相关的最常见的密切相关的观点是，E 和 I 命题可以简单转换；也就是说，“没有 S 是 P”的真值等价于“没有 P 是 S”，而“某些 S 是 P”的真值等价于“某些 P 是 S”。补充了简单转换的传统学说是一种非常自然的观点。这是亚里士多德的观点，在 19 世纪末之前得到了广泛认可（或至少没有受到质疑）。我将这整个学说称为“[SQUARE]”：

[SQUARE] = df SQUARE + “E 和 I 形式简单转换”

其中

一个命题简单转换，当且仅当它与通过交换其项得到的命题的真值必然等价。

因此，[方格] 不仅包含图中所示的关系，还包含“没有 S 是 P”等同于“没有 P 是 S”的观点，以及“某些 S 是 P”等同于“某些 P 是 S”的观点。

1.1 方格的现代修订

大多数当代逻辑教材将传统方格形式符号化如下：

所有 S 是 P ∀x(Sx → Px)

没有 S 是 P ∀x(Sx → ¬Px)

某些 S 是 P ∃x(Sx & Px)

某些 S 不是 P ∃x(Sx & ¬Px)

如果将这种符号化与关于联结词和量词逻辑的标准观点结合起来，传统方格中所体现的关系将基本消失。现代方格图如下所示：

现代修订方格：

现代修订方格

这种方格结构过于简单，实用性不强，因此不常用。根据阿隆佐·丘奇（Alonzo Church）的说法，这种现代观点可能起源于19世纪后期。[1] 这四种形式的表示现在已被普遍接受，除了对左列中下位替换缺失的疑虑之外。大多数英语使用者倾向于将“每个 S 都是 P”理解为，其真实性要求存在一些 S，如果强加了这一要求，则下位替换对肯定命题成立。每本现代逻辑教材都必须论述，当不存在 S 时，让“每个 S 都是 P”为真显然是不可能的。对此的常见辩护通常是，这是一种为逻辑目的而设计的逻辑符号，它并不声称能够捕捉符号所对应的自然语言形式的所有细微差别。因此，“∀x(Sx → Px)”或许确实未能完全体现“每个 S 都是 P”的日常用法，但这并不是逻辑上的问题。如果你认为“所有 S 都是 P”的真值要求存在 S，那么你可以轻松得出这个结论：只需在符号表示中添加一个额外的合取项，用符号表示“所有 S 都是 P”的顽固用法，如下所示：∀x(Sx → Px) & ∃xSx。

这种辩护既不违背逻辑，也驳斥了反对意见。这并非逻辑上的反对意见，而仅仅是对自然语言表示的保留。

作者通常会继续解释说，在科学中，当我们不确定是否存在实例时，我们常常希望进行概括，有时甚至在我们知道没有实例的情况下也是如此。他们有时会以此为由，对符号化 A 形式进行辩护，使其空洞地为真。这是一个从符号表示便利性出发的论证，与逻辑连贯性无关。

1.2 反对传统正方形的论证

为什么传统正方形需要修改？论证很简单：[2]

假设“S”是一个空项；它对任何事物都不成立。那么，I 形式：“某个 S 是 P”为假。但其矛盾的 E 形式：“没有 S 是 P”必定为真。而其次的 O 形式：“某个 S 不是 P”必定为真。但这错了，因为根本没有 S。

这个论证的疑惑在于，为什么面对这种考虑，传统的平方理论却能维持 20 多个世纪。难道 20 个世纪以来的逻辑学家都愚钝到没有注意到这个看似致命的缺陷吗？还是还有其他解释？

一种可能性是，20 世纪之前的逻辑学家一定认为没有项是空的。你会看到这种观点经常被提及，并被认为是其他人持有的观点。[3] 但除了少数非常特殊的例外（下文讨论），我找不到任何在 19 世纪之前持有这种观点的人。许多作者并不讨论空项，但那些讨论空项的人通常也认为它们的存在是理所当然的。即使在 19 世纪，明确拒绝空项也从来都不是主流选择。

另一种可能性是，特指“我”形式在其主语为空时可能为真。这是一种关于不定命题在一般情况下的常见观点，例如“渡渡鸟是一只鸟”，它（可以说）现在即使没有渡渡鸟也为真，因为作为鸟是作为渡渡鸟的本质的一部分。但是，这类主语为空的不定命题的真值与方阵中出现的命题形式无关。因为，尽管不定命题“渡渡鸟吃了我的午餐”可能被认为等同于特指命题“某只渡渡鸟吃了我的午餐”，但像“渡渡鸟是一只鸟”这样的一般不定命题却截然不同，它们的语义与对立方阵中的量化句子无关。

事实上，传统的[SQUARE]理论在空项存在的情况下完全自洽。这是因为在传统的解释中，O形式缺乏存在意义。如果O形式的主项为空而非假，则O形式（空洞地）为真，因此[SQUARE]的逻辑关联无可非议。下文将追溯这一观点的发展。

2. 对立方的起源

我称之为[SQUARE]的理论，源自亚里士多德。它始于《解释论》第6-7卷，其中包含三个主张：A与O相矛盾，E与I相矛盾，A与E相矛盾（17b.17-26）：

当肯定和否定普遍地表示事物时，我称它们为矛盾的对立面，例如：每个人都是白人——并非每个人都是白人，没有人是白人——有些人是白人。但我把全称肯定和全称否定称为相反的对立面，例如，每个人都是正义的——没有人是正义的。因此，它们不能同时为真，但它们的对立面对于同一事物可能都为真，例如，并非每个人都是白人——有些人是白人。

这给出了正方形的以下片段：

正方形片段

但其余部分已蕴含其中。例如，有足够的证据证明I和O是子对立面：它们不能同时为假。因为假设I为假。那么它的矛盾项E为真。因此E的对立项A为假。因此A的矛盾项O为真。这反驳了I和O同时为假的可能性，从而填补了子对立关系的底层。从属替换也随之而来。假设A形式为真。那么它的对立项E形式必定为假。但E形式的矛盾项I必定为真。因此，如果 A 形式为真，那么 I 形式也必定为真。一个平行的论证也确立了从E到O的从属替换。结果为SQUARE。

在《前分析篇》I.2，25a.1-25中，我们得到了E和I命题可简单转换的附加主张。将此与《论解释学》的理论结合起来，我们就得到了完整的[SQUARE]。[4]

2.1 图表

伴随并阐释该学说的图表早在公元2世纪就已出现；波爱修斯将其融入自己的著作中，并流传至今，经历了黑暗时代，直至中世纪盛期。这类图表在古典晚期和中世纪作家中很流行，他们将其用于各种目的。（模态命题的类似图表尤其流行。）

2.2 亚里士多德对O形式的表述

Ackrill的译文包含一些出人意料的内容：亚里士多德对O形式的表述并非我们熟悉的“某些S不是P”或其变体；而是“并非所有 S 都是 P”。凭借这种表述，亚里士多德的学说自然而然地避开了现代的批判。（这贯穿了他在《解释论》[5]中的观点。）再次假设“S”是一个空项，并假设这使得 I 形式“某些 S 是 P”为假。因此，它的矛盾形式，即 E 形式：“没有 S 是 P”，为真，这就蕴涵了亚里士多德表述中的 O 形式：“并非所有 S 都是 P”，因此 O 形式必定为真。当 O 形式被表述为“某些 S 不是 P”时，这让我们感到困扰，但当它被表述为“并非所有 S 都是 P”时，这似乎显然是正确的。回想一下，我们承认“所有 S 都是 P”具有存在意义，因此，如果“S”为空，A 形式必定为假。但这样一来，“并非所有 S 都是 P”就应该为真，正如亚里士多德的正方形所要求的那样。

根据这种观点，肯定句具有存在意义，而负数则不然——这一点在中世纪晚期被提升为普遍原则。[6] 因此，古人没有看到亚里士多德所阐述的正方形的不连贯性，因为根本就没有什么不连贯之处。

2.3 O 形式的改写

亚里士多德的著作主要通过波爱修斯在公元 500 年之后不久撰写的译本和注释传入拉丁西方。在《论解释》的译本中，波爱修斯保留了亚里士多德对 O 形式的表述，即“并非每个人都是白人”。但当波爱修斯评论这段文字时，他用如今已著名的图表来说明亚里士多德的学说，并使用了“有些人是不公正的”这样的表述。[7] 因此，在他看来，这在拉丁语中一定是自然而然的对应词。在我们看来，用英语表达出来会很奇怪，但他并不为此感到困扰。

十二世纪初，阿伯拉尔反对波爱修斯对O形式的表述[8]，但阿伯拉尔的著作影响并不广泛，除了他和他的一些追随者之外，人们经常用“某些S不是P”来表示代表正方形的图中的O形式。他们是否允许O形式空洞地为真？或许我们可以通过观察中世纪作家们所拥护的其他学说，来了解他们是如何解读这些形式的。这些学说包括三段论以及对立论和倒置论。

3. 三段论的（不）相关性

亚里士多德逻辑传统的一个核心关注点是范畴三段论。这是一种双前提论证的理论，其中前提和结论共享三个项，每个命题包含两个项。这一研究的独特之处在于，每个人都认同哪些三段论是有效的。三段论理论在一定程度上限制了对形式的解释。例如，它确定A形式具有存在意义，至少在I形式具有存在意义的情况下。其中一个有效模式（Darapti）是：

所有C都是B

所有C都是A

因此，某些A是B

如果A形式缺乏存在意义，则此模式无效；如果A形式具有存在意义，则此模式有效。它被认为是有效的，因此我们知道A形式应该如何解释。然后，人们自然会问O形式；三段论告诉我们关于它的什么？答案是，它们什么也没告诉我们。这是因为亚里士多德没有讨论弱化形式的三段论，在弱化形式中，人们在已经可以得出相应的全称命题的情况下，仍然得出一个特定的命题。例如，他没有提到以下形式：

没有C是B

所有A都是C

因此，某些A不是B

如果人们认真思考过这种形式的有效性，那么这显然与理解O形式息息相关。但弱化的形式通常被忽略。

4. 反置原则和倒置原则

另一个主题与O形式的解释有关。人们对亚里士多德关于“无限”否定的讨论很感兴趣[9]，即使用否定从一个词项形成一个词项，而不是从一个命题形成一个命题。在现代英语中，我们用“non”来表示这种否定；我们用“non-horse”来表示，这恰恰适用于那些不是马的东西。在中世纪拉丁语中，“non”和“not”是同一个词，因此这种区别需要专门讨论。无限否定的使用变得很普遍，逻辑学家们也开始思考它的逻辑。一些十二、十三世纪的作家采用了一种称为“对立转换”的原则。它指出：

“所有S都是P”等同于“所有非P都是非S”

“某些S不是P”等同于“某些非P不是非S”

不幸的是，这一原则（亚里士多德并不认可[10]）与可能存在空洞或普遍术语的观点相冲突。因为在普遍情况下，它直接从真理：

每个人都是存在者

导致谬误：

所有非存在者都是非人

（这是错误的，因为普遍肯定句具有存在意义，而不存在非存在者）。而在特定情况下，它从真理（记住O形式没有存在意义）：

嵌合体不是人

导致谬误：

非人不是非嵌合体

这些是布里丹的例子，在14世纪被用来证明对立的无效性。不幸的是，到了布里丹时代，对立原则已经许多作者都曾倡导这一原则。该原则在十二世纪的几部论文[11]中已经出现，并在十三世纪得到了西班牙的彼得[12]的认可，其著作被威廉·舍伍德[13]和罗杰·培根[14]转载了几个世纪。到了十四世纪，与对位法相关的问题似乎已广为人知，作者们通常会引用该原则，并指出它本身无效，但只要假设存在属于该主题词的事物，它就会变得有效。例如，威尼斯的保罗在他十四世纪末出版的、兼收并蓄、广为流传的《小逻辑学》中，给出了传统的简单转换平方[15]，但拒绝了通过对位法进行转换，这主要是出于布里丹的理由。

对位法也发生了类似的情况。该原理指出，如果将谓词项从有限变为无限（或从无限变为有限），则可以将命题从肯定变为否定，反之亦然。以下是一些示例：

所有S都是P = 没有S是非P

没有S是P = 所有S都是非P

某些S是P = 某些S不是非P

某些S不是P = 某些S是非P

亚里士多德在《论解释》中讨论了一些反转的例子。显然，给定这些形式的真值条件，这些推论在从肯定到否定时有效，但在反向推导时无效，因为谓词项可能为空，正如布里丹所明确指出的那样。[16] 在布里丹之前，一些中世纪作家接受了这些谬误版本，而另一些则没有。[17]

5. 后期发展

5.1 带有空项的否定命题

在保罗·威尼斯的另一部重要著作《大逻辑》（约1400年）中，他给出了一些由真全称否定命题推出的特殊否定命题的恰当例子。他列举的带有明显空项主语的真特定否定命题如下：[18]

某人是驴，则非驴。

与存在不同的是不存在。

被嵌合体所反对的事物，嵌合体并不反对。