库里悖论（二）

4. 对柯里悖论的回应

对柯里悖论的回应可以分为两类，这取决于它们是否接受“所有柯里完备理论都是平凡的”这个“麻烦推论”。

柯里不完备性回应接受“麻烦推论”。然而，它们否认目标属性、集合或真值的理论是柯里完备的。柯里不完备性回应可以，而且通常也包含经典逻辑。

柯里完备性回应拒绝“麻烦推论”；它们坚持认为存在非平凡的柯里完备理论。任何这样的理论必然违反柯里悖论引理中假设的一个或多个逻辑原则。由于经典逻辑验证了这些原则，因此这些回应援引了非经典逻辑。[17]

还可以选择对某个领域（例如集合论）出现的柯里悖论提出柯里不完备性回应，同时对另一个领域（例如属性论）出现的柯里悖论提出柯里完备性回应（例如，Field 2008；Beall 2009）。

4.1 柯里不完备性回应

一些著名的真理论对柯里悖论提出了柯里不完备性回应，例如塔斯基的等级理论、真修正论（Gupta & Belnap 1993）以及语境主义方法（Burge 1979、Simmons 1993 和 Glanzberg 2001、2004）。这些理论都限制了“朴素”透明原则（真值）。有关概述，请参阅关于说谎者悖论的条目。在集合论的背景下，柯里不完备性回应包括罗素类型理论和各种限制“朴素”集合抽象原则（集合）的理论。请参阅关于罗素悖论和另类公理集合论的条目。

一般而言，评估大多数柯里不完备性回应时需要考虑的因素似乎并非特定于柯里悖论，而是同样适用于说谎者悖论（在真值论领域）和罗素悖论（在集合论和属性论领域）。[18] 因此，本条目的其余部分将重点关注柯里完备性回应，但第 6.3 节简要回顾了所谓有效性柯里悖论背景下的区别。

4.2 柯里完备性回应

柯里悖论的柯里完备性回应认为，存在一些理论是柯里完备的，但又非平凡的；这样的理论必然违反柯里悖论引理中假设的一个或多个逻辑原则。由于规则Id通常不受质疑（但参见French 2016以及Nicolai & Rossi即将出版的著作），这意味着否认非平凡柯里完备理论的条件→同时满足MP和Cont。因此，回应分为两类。

（I）

最常见的策略是接受此类理论的条件服从MP，但否认其服从Cont。由于Cont是收缩原理，因此此类回应可以称为无收缩的。该策略最初由Moh (1954)提出，并被Geach (1955)和Prior (1955)赞许地引用。

(II)

第二种策略，也是更近期的策略，是接受此类理论的条件式服从Cont，但否认其服从MP（有时称为“分离规则”）。这种回应可以称为无分离策略。Ripley (2013) 和 Beall (2015) 以不同的方式提倡了这种策略。

每类Curry完备性回应又可以根据其如何阻碍所谓的Cont和MP的推导而细分。

4.2.1 无收缩回应

被无收缩回应所拒绝的Cont原则遵循两个标准原则。这些是单前提条件证明，也是略微更一般化的肯定前件式，最多只涉及一个前提 γ：

(MP′)

如果 γ⊢Tα→β 且 γ⊢Tα 则 γ⊢Tβ(CP)

如果 α⊢Tβ 则 ⊢Tα→β

1 α⊢Tα→β

2 α⊢Tα Id

3 α⊢Tβ 1,2 MP′

4 ⊢Tα→β 3 CP

因此，对于非平凡的柯里完备理论，无收缩响应必须拒绝这两个原则中的一个。相应地，在 (I) 类中，可以确定两个理论家的子类：

(Ia)

强无收缩响应否认 → 服从 MP′（例如，Mares & Paoli 2014；Slaney 1990；Weir 2015；Zardini 2011）。

(Ib)

弱无收缩响应接受 → 服从 MP′，但否认它服从 CP（例如，Field 2008；Beall 2009；Nolan 2016）。

类 (Ib) 中的响应之所以只能算作弱无收缩性，是因为如步骤 1-3 所示，它们接受了收缩原理，即如果 α⊢Tα→β 则 α⊢Tβ。

强无收缩性响应的支持者认为，MP′ 不能恰当地表达肯定前件式的相关形式。他们通常在“子结构”框架中提出该规则的自身形式，具体来说，这种框架可以让我们区分从一次前提得出的结果和从两次同一前提得出的结果。 （参见子结构逻辑条目。）因此，MP′ 需要替换为：

（MP″）

如果 γ⊢Tα→β 且 γ⊢Tα 则 γ,γ⊢Tβ

并且需要拒绝“结构收缩”规则：

（sCont）

如果 Γ,γ,γ⊢Tβ 则 Γ,γ⊢Tβ

正是因为它们拒绝了结构收缩，所以强无收缩方法可以声称在拒绝 MP′ 的情况下仍然保留了肯定前件（参见 Shapiro 2011、Zardini 2013 和 Ripley 2015a）。

强收缩自由响应还需要使用一对涉及合取的原理来阻止 MP′ 的推导：

(MP′∧)

如果 γ⊢Tα→β 且 δ⊢Tα 则 γ∧δ⊢Tβ(同上∧)

根据 T，句子 α 和 α∧α 可以相互替换

1 γ⊢Tα→β

2 γ⊢Tα

3 γ∧γ⊢Tβ 1,2 MP′∧

4 γ⊢Tβ 3 Idem∧

要避免 MP′ 的这种推导，就必须否认存在一个同时满足 MP′∧ 和 Idem∧ 的合取∧。根据许多强无收缩响应（例如，Mares & Paoli 2014；Zardini 2011），一种合取——“乘法”或“融合”——满足 MP′∧ 但不满足 Idem∧，而另一种——“加法”——满足 Idem∧ 但不满足 MP′∧（参见线性逻辑条目和 Ripley 2015a）。如果使用上面讨论的子结构框架，MP′∧ 的失效就等于：对于加法合取，γ,δ⊢Tβ 不等价于 γ∧δ⊢Tβ。

对于弱收缩无响应，CP 的失败有时是通过使用某种“世界”语义来激发的，这种语义涉及逻辑上可能世界和不可能世界之间的区别（例如，Beall 2009；Nolan 2016）。为了反驳 CP，我们需要 α⊢Tβ 为真，⊢Tα→β 为假。在目标“世界”方法中，⊢T 被定义为在模型中，即该模型的“可能世界”的真值保持。因此，α⊢Tβ 为真意味着在任何模型中都不存在 α 为真而 β 为假的可能世界。反过来，为了反驳⊢Tα→β，我们需要一个 α→β 为假的可能世界。这是如何发生的？由于联结词的定义方式考虑了模型中所有（类型的）世界（可能的，以及如果存在的话，不可能的），因此，由于在不可能世界中 α 为真，β 为假，因此 α→β 在可能世界中也可能不真。这正是目标方法所发生的情况。（究竟如何定义箭头的“世界真值”和“世界假值”条件，取决于所讨论的具体“世界”方法。）

4.2.2 不脱离论证的回应

不脱离论证的回应必须能够阻止基于传递性原理以及单前提条件证明的逆命题的直接推导：

（反式）

如果 α⊢Tβ 且 ⊢Tα，则 ⊢Tβ(CCP)

如果 ⊢Tα→β 则 α⊢Tβ

1 ⊢Tα→β

2 ⊢Tα

3 α⊢Tβ 1 CCP

4 ⊢Tβ 2, 3 反式

(II) 类理论家包含两个子类别：

（IIa）

强不脱离论证的回应否定 → 服从 CCP (Goodship 1996; Beall 2015)。

(IIb)

弱无分离原则的回应接受 → 服从 CCP，但拒绝 Trans (Ripley 2013)。

(IIb) 类回应之所以只是弱无分离原则，是因为这些回应所接受的 CCP 可以被视为条件句的一种分离原则。

回应无分离原则回应违反直觉的指控的一种策略是诉诸后果与我们对句子的接受和拒绝之间的联系。根据这种联系，每当 α⊢Tβ 成立时，就意味着（或至少暗示）根据理论 T，接受 α 而拒绝 β 是不连贯的（参见 Restall 2005）。现在假设，根据理论 T，拒绝 α 是不连贯的，接受 α 而拒绝 β 也是不连贯的。然后，Ripley (2013) 认为，只要不接受 α，根据该理论，拒绝 β 就不会引起任何矛盾。因此，我们有空间放弃 Trans，并采用弱分离自由的方法来应对 Curry 悖论。Beall 对强分离自由方法的辩护基于相关的考虑。他实际上认为，一个比 CCP 更弱的原则可以在约束包含 α、β 和 α→β 的句子的接受和拒绝组合方面发挥相关作用。

4.2.3 应用于非形式论证

库里悖论的两种研究方法仅仅区别于对1.1节中非形式论证中不同推论和子结论的挑剔。强非收缩式响应对应于阻止该论证的步骤(3)，因为它拒绝MP′。弱非收缩式响应则阻止步骤(4)，因为它拒绝CP。这两种非分离式响应都不会接受步骤(3)中的推理。由于它们接受Cont，非分离式响应使我们能够推导出(4)的结论，而弱非分离式响应则进一步使我们能够通过CCP推导出(3)的结论。然而，这两种非分离式响应都对MP最终走向(6)的举动挑剔。

5. 库里悖论的意义

在本节中，我们将解释通过思考库里悖论可以获得的一些独特经验。有关库里悖论不同版本与相关悖论所具有的共同意义的讨论，请参阅罗素悖论和说谎者悖论的条目。

5.1 解决否定悖论的希望破灭

从丘奇（1942）、莫赫（1954）、吉奇（1955）、勒布（1955）和普赖尔（1955）开始，对库里悖论的讨论都强调，它与罗素悖论和说谎者悖论的不同之处在于，它“本质上并不涉及否定”（安德森，1975：128）。[19] 库里悖论的无否定性地位之所以重要，原因之一是，它使得该悖论无法接受一些可能适用于此类“否定悖论”的解决方案。

Geach 认为，库里悖论给任何支持朴素真理论或朴素集合论的人带来了问题，面对否定悖论，或许……希望通过使用一个逻辑系统来避免[这些悖论]，在这个逻辑系统中，“p当且仅当非p”是某些“p”解释的定理，而我们无法由此推断出任何任意的陈述……（Geach 1955: 71）

他说，问题在于，库里悖论“不能仅仅通过采用一个包含某种奇怪的否定的系统来解决”。相反，“如果我们想要保留对真理的朴素观点，或者对类别的朴素观点……那么我们必须修改与‘如果’相关的基本推理规则”（1955: 72）。Geach 对库里悖论重要性的看法与 Meyer、Routley 和 Dunn（1979: 127）的观点非常相似。他们得出结论，库里悖论使那些“希望弱化经典否定原理”能够解决罗素悖论的人感到沮丧。[20]

简而言之，关键在于，存在一些具有弱否定原理的非经典逻辑，它们能够解决罗素悖论和说谎者悖论，但仍然容易受到库里悖论的影响。这些逻辑具有以下特征：

(a)

它们可以作为非平凡理论的基础，根据该理论，某些句子可以与其自身的否定相互替代。

(b)

它们不能作为库里完备的非平凡理论的基础。

虽然尚不清楚吉奇可能想到的是哪种逻辑，但确实存在满足这两个条件的非经典逻辑。因此，基于这些逻辑的理论仍然容易受到库里悖论的影响。

5.1.1 副相容解受挫

Meyer、Routley 和 Dunn (1979) 指出，一类逻辑满足条件 (a) 和 (b)。它们属于副相容逻辑，即一个句子及其否定不会衍生出任何任意句子的逻辑。副相容逻辑可以用来获得解决罗素悖论和说谎者悖论的理论，它既包含否定的不一致性，又不屈从于琐碎性。

根据这样的理论T，只要⊢Tλ和⊢T¬λ都成立，句子λ和¬λ就可以相互替代。这类理论是“贪婪的”，因为它们既肯定某个句子，又否定其否定（参见二元论条目）。然而，许多著名的副相容逻辑不能作为基于琐碎性痛苦的柯里完备理论的基础。这类逻辑有时被称为“柯里副相容的”（Slaney 1989）。[21]

5.1.2 准完全解受挫

许多被提出用于解释罗素悖论和说谎者悖论的非经典逻辑都是准完全逻辑，即拒绝排中律的逻辑。这些逻辑使得“间隙”理论成为可能。具体而言，如果根据这样的理论T，λ和¬λ可以相互替代，则⊢Tλ∨¬λ的情况将不成立。其中一些准完全逻辑同样满足条件(a)和(b)。

一个例子是基于Łukasiewicz的三值真值表的逻辑Ł3（参见例如Priest 2008）。由于它满足条件(a)，Ł3为罗素悖论和说谎者悖论提供了一个可能的回应——特别是一个间隙回应。然而，考虑迭代条件α→(α→β)，我们将其缩写为α⇒β。假设π的柯里句子和基于Ł3的理论T被重新定义为任何可与κ⇒π相互替代的句子κ。那么T将满足柯里悖论引理的所有条件，正如Moh (1954) 首次指出的那样。因此，只要存在一个根据T可与κ⇒π相互替代的κ，则⊢Tπ。因此，Ł3无法保证对柯里悖论的回应。[22]

总结：库里悖论阻碍了一些原本可以通过过度理论或缺口理论来解决语义悖论的途径。因此，规避库里悖论的需求在非经典逻辑的发展中发挥了重要作用（例如，Priest 2006；Field 2008）。

5.2 指向普遍的悖论结构

库里悖论的“无否定”状态之所以重要还有第二个原因。Prior 提出了以下重要观点：

我们不仅可以说库里悖论不涉及否定，而且即使是罗素悖论也只预设了它与蕴涵共有的否定性质。 （Prior 1955: 180）[23]

他的想法是，罗素悖论和库里悖论可以理解为源于同一一般结构，而该结构可以通过否定或条件句来实例化。[24]

可以通过定义一类导致库里悖论的一元连接词，并说明该类型如何通过否定句和用条件句定义的一元连接词来具体化，从而明确这一一般结构。

定义 3（库里连接词）设 π 是理论 T 语言中的一个句子。一元连接词 ⊙ 是 π 和 T 的库里连接词，前提是它满足两个原则：

如果⊢Tα 且⊢T⊙α 则⊢Tπ。

如果 α⊢T⊙α 则⊢T⊙α。

广义柯里悖论引理 假设 T 满足 Id 成立，且对于某对句子 π 和 μ，(i) μ 和 ⊙μ 根据 T 可相互替代，且 (ii) ⊙ 是 π 和 T 的柯里连接词。在这种情况下，⊢Tπ。[25]

证明：

1 μ⊢Tμ Id

2 μ⊢T⊙μ 1 柯里互代性

3 ⊢T⊙μ 2 P2

4 ⊢Tμ 3 柯里互代性

5 ⊢Tπ 3, 4 P1

广义柯里悖论引理现在可以用两种不同的方式实例化：从而得出柯里悖论或否定悖论：

为了得到柯里悖论，设一元联结词 ⊙ 满足 ⊙α 为 α→π，令 μ 为一个根据 T 可与 μ→π 相互替换的句子。则 P1 相当于我们在柯里悖论引理推导中使用的 MP 实例，而 P2 正是我们的规则 Cont。

如果 ⊢Tα→β 且 ⊢Tα 则 ⊢Tβ

如果 α⊢Tα→β 则 ⊢Tα→β

为了得到否定悖论，设 ⊙α 为 ¬α，令 μ 为一个根据 T 可与 ¬μ 相互替换的句子。[26] 则 P1 相当于 ex contradictione quodlibet（或“爆炸”）的实例，而 P2 是一个归谬原理。

如果⊢Tα且⊢T¬α，则⊢Tβ

如果α⊢T¬α，则⊢T¬α

Prior的观点是，与罗素悖论或说谎者悖论相关的否定特征，因其作为柯里联结词的地位而被穷尽。这解释了为什么这些悖论并不依赖于否定特征，例如排中律或双重否定消去律，这些特征在非经典理论中不成立，在这些理论中，否定仍然是柯里联结词（例如，在直觉主义理论中，ECQ和Red都成立）。[27]

此外，柯里联结词根本不需要非常类似于否定词。它甚至可能不是一个最小否定词（参见否定词条），因为它不需要遵循双重引入律：

α⊢T⊙⊙α。

例如，假设 ⊙α 是 α→π。那么，为了使 ⊙ 服从 DI，就必须满足 α⊢T(α→π)→π 的情况。许多非经典理论违反了这一原则，在这些理论中， ⊙ 的定义符合柯里连接词的条件。[28]

总结一下：柯里悖论指向一个由各种悖论所实例化的普遍结构。这种结构本身并不涉及否定，但与库里悖论不同，一些本质上包含否定的悖论也展现了这一点，例如罗素悖论和说谎者悖论。

鉴于普里斯特（1994）颇具影响力的“一致解原则”，哪些悖论表现出共同结构的问题变得至关重要。根据该原则，属于“同一类型”的悖论应该得到“同一类型的解”。假设我们将一类悖论界定如下：

定义4（广义库里悖论）只要广义库里悖论引理中的假设成立，我们就有广义库里悖论。

假设接受一致解原则，那么问题就变成了，什么才算对所有广义库里悖论提出了统一的解。具体来说，对于如此界定的每一个实例，仅仅证明看似库里连接词的东西实际上并非如此就足够了吗？这似乎确实足够了。尚不清楚为什么一致性还要额外要求所有看似库里连接词的东西都因违反同一条件而不具备库里连接词的资格。例如，假设否定和我们使用→定义的一元连接词似乎都满足广义原理P2，在前一种情况下是因为¬似乎遵循Red，在后一种情况下是因为→似乎遵循Cont。除非这两种表象共享一个共同的来源（例如，正如Zardini 2011所声称的那样，隐含地依赖于结构收缩），否则，仅从表面上接受一种表象而将另一种表象视为欺骗性，并不会造成令人反感的不一致。（关于此处应用于另一类悖论的哲学问题的讨论，（参见 Smith 2000 和 Priest 2000 的交流。）

如果这是正确的，那么广义柯里悖论得到统一解决的愿望就无需区分人们所追求的各种逻辑修正方案。这些方案包括以下三种：

人们可能认为，当 ⊙α 实例化为 ¬α 时（得到否定悖论），只有原理 P1 失效；而当 ⊙α 实例化为 α→π 时（得到柯里悖论），只有原理 P2 失效。按照这种方法，ECQ 和 Cont 失效，而 Red 和 MP 成立（Priest 1994, 2006）。

人们可能认为，对于 ⊙ 的两种实例，只有原理 P2 失效。按照这种方法，Red 和 Cont 失效，而 ECQ 和 MP 成立（Field 2008；Zardini 2011）。