库里悖论（一）

“库里悖论”是当今哲学家们所使用的术语，指的是各种各样的自指或循环悖论，其现代渊源可以追溯到库里 (1942b) 和洛布 (1955)。[1] 这些所谓的库里悖论的共同特征是它们以连接词或谓词的形式运用蕴涵、蕴含或后果的概念。库里悖论出现在许多不同的领域。与罗素悖论一样，它可以表现为集合论或属性论的悖论。但它也可以以语义悖论的形式出现，与说谎者悖论非常相似。库里悖论与罗素悖论和说谎者悖论的不同之处在于，它本质上不涉及否定的概念。常见的真值理论版本包含一个句子，该句子自称：如果它为真，则任意选择的断言也为真；或者——用一个更阴险的例子来说——它自称：如果它为真，则所有假言也为真。悖论在于，这样一个句子的存在似乎暗示了任意选择的断言为真，或者——用一个更阴险的例子来说——所有假言也为真。在本文中，我们将展示如何构建各种库里悖论，考察可用的解空间，并解释库里悖论的一些重要之处及其独特的挑战。

1. 引言：悖论的两种表现形式

1.1 非正式论证

1.2 对理论的约束

1.3 概述

2. 构造 Curry 语句

2.1 Curry 的第一方法和集合论 Curry 语句

2.2 Curry 的第二种方法和真值论柯里句

3. 悖论的推导

3.1 柯里悖论引理

3.2 替代前提

4. 柯里悖论的回应

4.1 柯里不完备性回应

4.2 柯里完备性回应

4.2.1 无收缩性回应

4.2.2 无分离性回应

4.2.3 应用于非形式论证

5. 柯里悖论的意义

5.1 破灭了解决否定悖论的希望

5.1.1 副相容性解受挫

5.1.2 副完备性解受挫

5.2 指向一个普遍的悖论结构

6. 柯里有效性

6.1 连接词形式

6.2 谓词形式

6.3 意义

参考文献

重要史料

其他参考文献

学术工具

其他网络资源

相关文章

1. 引言：悖论的两种表现形式

1.1 非正式论证

假设你的朋友告诉你：“如果我用这句话表达的意思是正确的，那么时间就是无限的。” 事实证明，对于以下结论，有一个简短且看似令人信服的论证：

(P)

你朋友的断言本身就意味着（或导致了）时间是无限的。

许多人认为，即使时间确实是无限的，(P) 也是难以置信的（从这个意义上讲，是悖论）。或者，如果这还不够糟糕，可以考虑另一个版本，这次涉及一个已知为假的断言。让你的朋友这样说：“如果我用这句话表达的意思是正确的，那么所有数都是素数。”现在，经过必要的修正，同样简短且看似令人信服的论证可以得出 (Q)：

(Q)

你朋友的断言本身就蕴含（或导致）所有数都是素数。

以下是 (P) 的论证。设 k 是你朋友所说的自指句子，略作简化，使其为“如果 k 为真，则时间无限”。鉴于k所说的内容，我们知道以下内容：

(1)

假设k为真，则如果k为真，则时间无限。

当然，我们还有：

(2)

假设k为真，则k为真。

在k为真的假设下，我们由此推导出一个条件句及其先行句。在假设范围内，运用肯定前件原则，我们现在在同一假设下推导出该条件句的后件：

(3)

假设k为真，则时间无限。

条件证明规则现在使我们能够以我们的假设为先行句来肯定一个条件句：

(4)

如果k为真，则时间无限。

但是，由于(4)恰好就是k本身，因此我们有：

(5)

k为真。

最后，将 (4) 和 (5) 用肯定前件法组合起来，我们得到

(6)

时间是无限的。

我们似乎已经证明了时间是无限的，除了自指语句 k 的存在之外，没有使用任何假设，以及那些看似显而易见的关于真值的原理，正是这些原理引导我们得出 (1) 以及从 (4) 到 (5)。对于 (Q) 也是如此，因为我们可以用同样的论证形式得出所有数都是素数的错误结论。

1.2 对理论的限制

库里悖论提出的一个挑战是，如何找出前述关于 (P)、(Q) 或类似概念的非形式化论证中的问题所在。但从库里在 1942b 年首次提出（参见关于库里论库里悖论的补充文献）开始，对库里悖论的讨论通常有不同的侧重点。它涉及各种形式系统——通常是集合理论或真理论。在这种情况下，悖论的产生在于证明系统具有某个特定特征。通常，这个特征指的是琐碎性。当一个理论肯定了所有能用该理论语言表达的主张时，它就被认为是平凡的，或绝对不一致的。[2]

如果以下任一情况成立，那么论证某个特定形式理论是平凡的就会带来问题：(i) 我们希望在探究中使用形式理论，就像我们在数学中使用集合论一样；或者 (ii) 我们希望使用形式理论来建模语言或思维的特征，特别是某些说话者或思想家所坚持的主张。无论哪种情况，目标理论的平凡性都表明它不足以达到预期目的。因此，这是库里悖论提出的第二个挑战。

为了阐明库里悖论对理论的限制，我们需要说明什么是库里句。通俗地说，库里句是指根据某种理论，等同于以其自身为先行词的条件句的句子。例如，人们可能会认为第1.1节的论证诉诸于一种非形式化的真理论。那么句子“k为真”就相当于该理论的一个柯里句。这是因为，考虑到我们的非形式化理论告诉我们k的真值包含的内容，“k为真”应该等价于“如果k为真，则时间无限”（因为这个条件就是k本身）。

下文中，符号⊢Tα表示理论T包含句子α，而Γ⊢Tα表示α根据T（即根据T的后果关系⊢T）从Γ中收集的前提推出。[3] 然而，除了第4.2.1节之外，我们将只关注根据该理论从一个前提推出的断言，即由形式为γ⊢Tα的句子表达的断言。（我们依靠上下文来明确此类句子在何处被使用，以及在何处仅被提及。）

如果形式为Γ⊢Tα的任何断言的真实性不受在α或Γ中的任何句子中用一个句子替换另一个句子的影响，则两个句子（用理论T的语言）根据T可相互替换。最后，我们假设该语言包含一个连接词→，它在某种适当的意义上充当条件句。为了便于以下定义，我们不对该条件句的行为提出任何特定要求。现在，我们可以为句子理论对定义柯里句的概念。

定义1（柯里句）设π是T语言中的一个句子。π和T的柯里句是任何满足κ条件的句子，并且κ和κ→π根据T可相互替换。[4]

柯里悖论的各种版本源于支持以下非常普遍断言的论证。 （这些论证基于对条件式 → 的假设，将在第三节详细讨论。）

令人不安的断言：对于每个理论 T 以及 T 语言中的任何句子 π，如果存在一个对应 π 和 T 的柯里句，则⊢Tπ。

一个看似能成立“令人不安的断言”的论证，只要有令人信服的理由相信该断言为假，即可被视为悖论。“令人不安的断言”的一个反例是，任何理论 T 和句子 π，都存在一个对应 π 和 T 的柯里句，但⊢Tπ 并非如此。

如上所述，柯里悖论通常被理解为对非平凡理论存在的挑战。鉴于“令人不安的断言”，只要可以用该理论的语言为任何句子制定一个柯里句，该理论就是平凡的。事实上，平凡性源于一个较弱的条件，以下定义明确了这一点。

定义 2（柯里完备理论）一个理论 T 是柯里完备的，前提是对于 T 语言中的每个句子 π，都存在一个 π′，满足 (i) π′ 和 T 都存在一个柯里句子；以及 (ii) 如果 ⊢Tπ′ 则 ⊢Tπ。

满足条件 (ii) 的 π′ 的一个实例是 π 本身，而另一个实例则是“爆炸性”句子 ⊥，只有当每个句子都包含在理论中时，该句子才包含在理论中。[5]

这个令人不安的断言现在有一个直接的推论：柯里完备理论必须包含其语言中的每个句子。

令人不安的推论：每个柯里完备理论都是平凡的。

再次强调，任何看似能确立“令人不安的推论”的论证，只要有令人信服的理由相信存在柯里完备的非平凡理论（实际上是真理论），便可视为悖论。

1.3 概述

在本文的其余部分，柯里悖论将被理解为对理论施加一个悖论性的约束，即上述“令人不安的推论”所提出的约束。提出一个这样的柯里悖论版本，需要做两件事：

论证 T 对于某个看似非平凡的目标理论 T 是柯里完备的；以及

对“令人不安的断言”进行论证。[6]

第 2 节和第 3 节将按顺序讨论这两个任务。目前，我们可以使用自指句子 k 的例子来表达其基本思想，该句子为“如果 k 为真，则时间无限”。首先，鉴于我们对真理的理解，我们认识到“k 为真”这句话与“如果 k 为真，则时间无限”是可以相互替代的。其次，第一节的非形式化论证。1 从这种等价性中得出了一个自相矛盾的结论。主要对该论证及其相关论证所涉及的逻辑原理以及反驳此类论证的选项感兴趣的读者，可以参阅第三节。

2. 构建柯里句

正如当今的标准表述，柯里悖论困扰着“朴素”真理论（以“透明”真谓词为特征）和“朴素”集合论（以不受限制的集合抽象为特征）。本节将解释每种理论如何产生柯里句。不过，我们先从一个涉及属性理论的版本开始，这个版本与柯里的表述更为相似。 （补充文献《库里论库里悖论》简要描述了库里本人版本的悖论所针对的目标。）

属性理论的特点是不受限制的属性抽象，前提是，对于任何可用该理论语言表述的条件，都存在一个属性，该属性（根据该理论）恰好由满足该条件的事物所例证。考虑一个用具有属性抽象工具 [x:ϕx] 和例证关系 ϵ 的语言表述的理论 TP。例如，如果 ϕ(t) 表示术语 t 所代表的对象是三角形的，则 t ϵ [x:ϕx] 表示该对象例证了三角形属性。那么，给定不受限制的属性抽象，我们应该得到以下原理。

（性质）对于每个包含一个自由变量的开放句子 ϕ 和每个项 t，句子 t ϵ [x:ϕx] 和 ϕt 都可以根据 TP 相互替换。

实际上，Curry (1942b) 用他的（性质）对应物概述了两种“构造” Curry 句子的方法。他说第一种方法“基于罗素悖论”，而第二种方法则“基于埃庇米尼得斯悖论”。虽然这两种方法都是属性论的，但第一种方法产生了库里悖论的集合论版本的先驱，而第二种方法则产生了真值论版本的先驱。

2.1 库里的第一方法与集合论库里句

库里的第一方法与罗素悖论的类似版本涉及属性例证。它的主题是“存在即无法例证自身”的属性。我们通过考虑“只有当时间无限时才能例证自身”的属性，得到了一个属性论库里句。假设我们通过规定 h=def[x:xϵ x→π] 来为该属性引入名称 h，其中句子 π 表示时间无限。[7]将原理（性质）应用于句子 h ϵ h，我们发现：

根据 TP，h ϵ h 和 h ϵ h→π 是可替换的。

换句话说，h ϵ h 是 π 和 TP 的柯里句。

柯里的第一个方法随后衍生出集合论柯里句。集合论的特点是无限制的集合抽象，前提是对于任何可用该理论语言表述的条件，存在一个集合（根据该理论）包含所有且仅包含满足该条件的事物。设 TS 是我们的集合论，用一种使用 {x:ϕx} 表达集合抽象并使用 ∈ 表达集合成员关系的语言来表述。那么（性质）的对应项是

（集合）对于每个包含一个自由变量的开句 ϕ 和每个项 t，句子 t∈{x:ϕx} 和 ϕt 都是根据 TS 可替换的。

为了得到集合论中的柯里句，考虑一个由任何仅在时间无限时才为其自身成员的集合组成的集合。假设我们为该集合引入名称 c，通过规定 c=def{x:x∈x→π}。将集合原理（Set）应用于句子 c∈c，我们发现：

根据集合理论，c∈c 和 c∈c→π 是可替换的。

换句话说，c∈c 是 π 和 TS 的柯里句。

柯里悖论的集合论版本由 Fitch 于 1952 年提出[8]，Moh 于 1954 年和 Prior 于 1955 年也提出了该版本。

2.2 柯里的第二种方法与真值论柯里句

尽管柯里对“埃庇米尼得斯悖论”（说谎者悖论的一种形式）进行了评论，但他的第二种方法实际上是一个相关的语义悖论——格雷林悖论[9]的变体。格雷林悖论的原始形式考虑的是许多词语都具有的一种属性，即当一个词语无法例证其所代表的属性时，它所拥有的属性 (Grelling & Nelson 1908)。例如，“冒犯性”一词就具有这种属性：它无法例证其所代表的属性，因为它本身并不具有冒犯性（参见悖论与当代逻辑条目）。实际上，库里认为，只有当时间无限时，词语本身所赋予的属性才能例证其所代表的属性。现在假设我们的理论为该属性引入了一个名称 u。然后，库里展示了如何构造一个句子，（非正式地说）表示名称 u 例证了它所代表的属性。他表明，这个句子可以作为属性理论和名称外延的库里句。[10]

虽然这种获取库里句的方法基于表达式的语义特征，但它仍然依赖于属性抽象。尽管如此，它仍然可以被视为一个完全语义版本的先驱。（与其考虑上面介绍的属性，不如考虑“只有当时间无限时才适用于自身”这个谓词。）因此，正如 Geach (1955) 和 Löb (1955) 首次指出的那样，仅使用语义原理即可获得 Curry 句，而无需依赖任何属性抽象。他们的路径对应于 1.1 节中关于自指句子 k 的非形式化论证，该论证内容为“如果 k 为真，则时间无限”。

为此，设 TT 是一个真理论，其中 T 是真值谓词。假设“透明性”原则

（真值）对于每个句子 α，根据 TT，句子 T⟨α⟩ 和 α 是可替换的。

为了使用此原则获得 Curry 句，假设存在一个句子 ξ，即 T⟨ξ⟩→π。[11] 然后，由（真值）可直接得出：

根据 TT，T⟨ξ⟩ 和 T⟨ξ⟩→π 是可替换的。

换句话说，T⟨ξ⟩ 是 π 和 TT 的柯里句。

Geach 指出，像 T⟨ξ⟩ 这样的句子所导致的语义悖论类似于“集合论中的柯里悖论”。Löb 没有提及 Curry 的工作，他将这一悖论归因于一位审稿人对现在被称为 Löb 定理的可证明性证明的观察（参见“哥德尔不完备性定理”条目）。这位审稿人，现在已知是 Leon Henkin (Halbach & Visser 2014: 257)，他认为 Löb 在其证明中使用的方法“导致了自然语言中悖论的新推导”，即上文 1.1 节中非正式论证。[12]

3. 悖论的推导

假设我们已经使用上述方法之一，证明了某个关于真、集合或属性的理论是柯里完备的（例如，该理论包含一个柯里句，该句对应该语言中的每个句子，或者一个爆炸性句子）。为了得出该理论是平凡的结论，现在只需对“令人不安的断言”进行论证即可。这断言：对于每个理论 T，如果存在一个关于 π 和 T 的柯里句，则⊢Tπ。这样的论证将利用定义 1 中提到的条件式 → 的逻辑行为的假设。假设必须抵制这个令人不安的断言，这相应地对该条件式的行为施加了限制。

3.1 柯里悖论引理

首先，这是一个非常普遍的限制性结果，它是 Curry 1942b 引理[13] 的一个近似变体。

柯里悖论引理 假设理论 T 和句子 π 满足以下条件：(i) π 和 T 存在一个柯里句子；(ii) 身份规则 (Id) α⊢Tα 的所有实例均成立；(iii) 条件 → 满足以下两个原则：

如果 ⊢Tα→β 且 ⊢Tα 则 ⊢Tβ

如果 α⊢Tα→β 则 ⊢Tα→β

则 ⊢Tπ。

这里 MP 是肯定前件式的一种形式，而 Cont 是收缩原则：句子 α 的两次出现被“收缩”为一次。（我们很快会遇到更常被称为收缩的相关原则。[14]）柯里悖论引理意味着，任何柯里完备理论都必须违反 Id、MP 或 Cont 中的一个或多个，否则将导致琐碎性。

为了证明引理，只需证明 Id、MP 和 Cont，加上 κ 与 κ→π 的“柯里互代换性”，即可成立 ⊢Tπ。以下推导类似于 1.1 节的非形式化论证。该论证还包含一个关于原则 Cont 的子论证，我们将在下文中进行探讨。

1 κ⊢Tκ Id

2 κ⊢Tκ→π 1 柯里互代换性

3 ⊢Tκ→π 2 Cont

4 ⊢Tκ 3 柯里互代换性

5 ⊢Tπ 3, 4 MP

第四节将讨论柯里悖论引理中关于 → 的两个假设原则的证明或推翻方式。

3.2 替代前提

库里悖论引理存在一些对应命题，它们援引了其他逻辑原理集（例如，参见 Rogerson & Restall 2004 和 Bimbó 2006）。最常见的版本可能是用相应的定律取代规则 Id 和 Cont：

⊢Tα→α

⊢T(α→(α→β))→(α→β)

推导过程如下：

1 ⊢Tκ→κ IdL

2 ⊢Tκ→(κ→π) 1 柯里互替性

3 ⊢T(κ→(κ→π))→(κ→π) 2 ContL

4 ⊢Tκ→π 2, 3 MP

5 ⊢Tκ 4 柯里互替性

6 ⊢Tπ 4, 5 MP

柯里悖论引理的第二个常见对应物来自 Meyer、Routley 和 Dunn (1979)。[15] 它运用了两个关于合取的原理：肯定前件的定律形式和合取的幂等性。

⊢T((α→β)∧α)→β

（同上∧）

根据T，句子α和α∧α是可替换的。

这次推导如下：

1 ⊢T((κ→π)∧κ)→π MPL

2 ⊢T(κ∧κ)→π 1 柯里互替性

3 ⊢Tκ→π 2 同上∧

4 ⊢Tκ 4 柯里互替性

5 ⊢Tπ 3, 4 MP

使用Cont而不是ContL或MPL来表述柯里悖论引理，将更容易在下一节中注意到那些拒绝后两个原则的回应类别中的显著差异。[16]