库里悖论（三）

人们或许会认为，仅 P1 不适用于 ⊙ 的两个实例。按照这种方法，ECQ 和 MP 不成立，而 Red 和 Cont 成立 (Beall 2015; Ripley 2013)。

因此，例如，Priest 自己的方法可以被视为以广义 Curry 悖论的实例形式一致地解决了 Curry 悖论和说谎者悖论。尽管 Priest 将说谎者句子的评价结果​​既为真又为假，而他拒绝接受 Curry 句子为真的断言，但情况仍然如此。

无论如何，Curry 悖论提出了一个挑战，即各种悖论的解应该具有何种类型的一致性（另见 Zardini 2015）。Priest 本人提倡关注一种比广义 Curry 悖论范围更窄的悖论，这种悖论的实例包括否定悖论，但不包括 Curry 悖论。普里斯特（Priest）的“封闭模式”（2002）明确指出了这一类型；参见“自我指涉”条目。一个持续存在的争议是，是否存在某种版本的库里悖论可以算作“封闭悖论”。尽管它与 Priest 对此类悖论的统一辩证法解决方案相抵触（参见 Beall 2014b、Weber 等人 2014 和 Beall 2014a 以及 Pleitz 2015 中的对话）。

6. 有效性 Curry

过去十年（截至本条目此版本发布之日），人们对 Curry 悖论的关注度激增，或许尤其关注所谓的有效性 Curry 悖论或 v-Curry 悖论（Whittle 2004；Shapiro 2011；Beall & Murzi 2013）。[29] V-Curry 涉及 Curry 语句，这些 Curry 语句通过使用条件句或谓词，旨在用理论 T 自身的语言表达其关系 ⊢T，从而明确地调用理论 T 的后果或“有效性”关系。

6.1 联结形式

对于 v-Curry 悖论的一种形式，设 Curry 句子定义（定义 1）中提到的条件式为结果联结式 ⇒。以 ⇒ 作为主要算符的句子应解释为：“p （根据 T）必然导致 q”。现在，只要 ⇒ 满足 Curry-Paradox 引理的条件 MP 和 Cont，我们就能立即得到 Curry 悖论的属性论、集合论或真值论版本。

Curry-Paradox 引理的这个例子尤其棘手，因为它阻碍了 Curry 悖论的一个常见回应，即 4.2.1 节中讨论的弱无收缩回应。该回应依赖于拒绝单前提条件证明的规则 CP，这是单前提“演绎定理”的一个方向。但对于结果连接词来说，这条规则似乎难以抗拒（Shapiro 2011；Weber 2014；Zardini 2013）。如果根据理论T的结果关系，β是α的结果，而该理论本身的结果连接词是⇒，那么那么 T 必然包含推论断言 α⇒β。同样，这种库里悖论变体也为无分离响应（detachment-free responds）带来了障碍，因为无分离响应需要拒绝规则 MP。如果一个理论本身包含推论连接词 α 和推论条件 α⇒β，那么它也必然包含 β。或者至少表面上如此。诚然，弱无分离响应的支持者会争辩说，⇒ 的 MP 非法地构建了传递性（参见 4.2.2 节）。然而，似乎不可避免的是 CP 的逆命题，即规则 CCP，它是单前提演绎定理的另一个方向。如果一个理论包含推论条件 α⇒β，那么根据该理论，β 必然从 α 得出。这仍然排除了强无分离响应。

6.2 谓词形式

第二种形式的 v-Curry 悖论出现在一个理论 TV 中，其主题包含单前提后果关系 ⊢TV，根据该理论，该关系在其语言的句子之间成立。[30] 设该关系用谓词 Val(x,y) 表示，并进一步假设存在一个句子 χ，它要么是 Val(⟨χ⟩,⟨π⟩)，要么至少根据 TV 可以与后者相互替换。一种形式的 v-Curry 悖论采用了两个支配 Val 的原则，我们根据 Beall & Murzi (2013) 将其称为“有效性分离”和“有效性证明”。

如果 γ⊢TVVal(⟨α⟩,⟨β⟩) 且 γ⊢TVα 则 γ⊢TVβ

如果 α⊢TVβ 则 ⊢TVVal(⟨α⟩,⟨β⟩)

利用这些原理，我们得到 ⊢TVπ 的以下快速论证。

1 χ⊢TVχ Id

2 χ⊢TVVal(⟨χ⟩,⟨π⟩) 2 柯里互替性

3 χ⊢TVπ 1, 2 VD

4 ⊢TVVal(⟨χ⟩,⟨π⟩) 3 VP

5 ⊢TVχ 4 柯里互替性

6 ⊢TVπ 4, 5 VD

应用于 v-Curry 的谓词形式时，弱收缩自由响应会通过拒绝规则VP来抵制从步骤2到步骤4的“收缩”，而无分离响应会拒绝VD，即使在步骤6中使用的零前提形式中也是如此。不过，鉴于谓词Val的预期解释，VP和零前提VD似乎都是不可避免的(Beall & Murzi 2013; Murzi 2014; Murzi & Shapiro 2015; Priest 2015; Zardini 2014)。[31] 最后，即使VD因非法涉及传递性而被拒绝，VP的逆似乎也是不可避免的。如果是这样，那至少可以排除强分离自由响应。

Shapiro (2013) 和 Field (2017: 7) 提出了一个可以说更强大的v-Curry推理版本。这种推理可以采用联结形式或谓词形式，但它不依赖于CP或VP。这里我们用Val给出谓词形式。如上所述，我们首先利用VD推导出χ⊢TVπ。鉴于Val的含义，χ⊢TVπ这一结论表明Val(⟨χ⟩,⟨π⟩)为真，即χ为真。但如果χ为真且χ⊢TVπ为真，那么π似乎也必然为真。由于对v-Curry的弱分离自由（非传递性）响应确实允许推导出χ⊢TVπ，因此这种推理也对此类响应提出了异议。

6.3 意义

如果事实上，v-Curry 悖论无法用弱收缩自由或强分离自由的响应来解释，那么（假设规则 Id 保留）Curry 完全响应空间将被限制为强收缩自由和弱分离自由的响应。前者响应，如 4.2.1 节所述，通常通过在子结构演绎系统中重新表述肯定前件（或有效性谓词的分离）并拒绝结构收缩规则 sCont 来表示。后者响应，如第 4.2.2 节所述，拒绝及物性的结构原则。因此，v-Curry 悖论有时被用来解释子结构后果关系（例如，Barrio 等人即将出版；Beall & Murzi 2013；Ripley 2015a；Shapiro 2011, 2015）。[32]

关于 v-Curry 悖论的热烈而广泛的辩论，使我们对 Curry 悖论的理解取得了真正的进展。最终，显而易见的是，虽然 v-Curry 悖论可能与非 v-Curry 悖论有不同的解决方式，但它们与广义 Curry 悖论仍然属于同一模型。具体而言，在第 5.2 节的通用模板中，可以根据 ⊢T 本身，用 ⊙ 来表达后果（作为谓词或连接词）。这是 v-Curry 的核心。由于在我们的语言中存在（许多）不同的（形式）后果关系（例如，基于逻辑词汇的逻辑后果，基于逻辑加认知词汇的认知后果，等等），因此可能出现许多不同的 v-Curry 悖论。然而，这些悖论的解空间正是本文所探讨的广义 Curry 悖论的解空间。

然而，至少有两个理由值得 v-Curry 悖论单独关注。首先，如上所述，两类 Curry-complete 解——弱收缩自由解和强分离自由解——在 v-Curry 悖论中显得尤其成问题。其次，假设我们以 Curry-complete 的方式处理一个普通的 Curry 悖论（属性论、集合论或语义悖论）。仍然有理由以 Curry 不完全的方式处理相应的（连接词或谓词）v-Curry 悖论，或许是因为他们认为理论的后果关系本质上无法被该理论语言中的任何连接词或谓词所捕捉（例如，参见 Myhill 1975；Whittle 2004）。因此，普通库里悖论及其 v-Curry 对应物的“非一致”解可能——再次——是一种有动机的非一致。[33]