正式认识论（五）

4.第四个案例研究：知识的极限

到目前为止，我们只使用了一个正式的工具，概率理论。 我们可以使用其他工具在上述应用中获得许多类似的结果，如Dempster-Shafer理论或排名理论。 但让我们搬到一个新的应用程序和一个新工具。 让我们使用模态逻辑来探索知识的限制。

4.1认知模态逻辑

模态逻辑的语言与普通的典型逻辑相同，但使用额外的句子运算符，◻，抛出以表示必要性。 如果句子φ不仅仅是真的，但必然是真的，我们写◻φ。

然而，有很多必要性。 有些东西是必要的，如tautologies。 其他人可能不会逻辑上是必要的，但仍然必须表达必要。 （Hesperus和磷是相同的，是一个流行的例子;更有争议的候选人是上帝的存在或关于父母来源的事实，例如，Ada Lovelace的父亲是拜伦勋爵的事实。）

但是，这里的必要性是认识的必要性，鉴于我们所知道的，必须真实的事情的必要性。 例如，它对您必须认识到这句话的作者是人类的。 如果你不知道已经知道（也许你没有考虑过这个问题），鉴于你所知道的其他事情，它必须是真实的：人类是地球上唯一能够构建正式认识论的连贯调查的唯一众生，这是一个调查（我希望）。

在认知模态逻辑中，写Kφ而不是◻φ是有道理的，其中kφ意味着已知φ是真的，或者至少遵循已知所知道的。 被谁知道？ 这取决于应用程序。 让我们假设我们正在谈论你的知识，除非另有说明。

认知模态逻辑应该包括哪些公理？ 嗯，命题逻辑的任何Ta文学应该是定理，如φίφ。 就此而言，与K算子类似的k算子有效的公式，如Kφkkφ，也应该是定理。 所以我们只需通过最粗壮的方式，通过使它们所有公理方式来实现所有这些公式定理

（P）任何句子表的古典逻辑规则有效的句子是一个公理。

采用P立即使我们的公理列表无限。 但它们都很容易被真实表方法识别，所以我们不会担心它。

超越古典逻辑，所有所谓的“正常”模态逻辑共享一个公理，对于认知应用，看起来非常明智：

k（φ⊃ψ）⊃（kφ⊃kψ）

如果你知道φ⊃ψ是真的，那么如果你也知道φ，你也知道♥。 或者至少，如果φ⊃ψ和φ做，则从您知道的情况下遵循。 （这里的'K'代表了'Kripke'，不是为了“知识”。）通过所有“arethic”模态逻辑共享的另一个常见公理也看起来很好：

kφ⊃φ

如果你知道φ，它必须是真的。 （注意：K和T实际上是公理模式，因为这些形式的任何句子都是公理。所以这些模式中的每一个实际上都是无限的许多公理，所有相同的一般形式。）

对于这些公理，我们将添加两个推理规则。 第一个熟悉古典逻辑，指出从φ⊃ψ和φ，一个可以导出ψ。 正式：

φ⊃ψ，φ⊢ψ

第二个规则是模态逻辑的特定，并且从φ可以推断kφ的状态。 正式：

φ⊢kφ

NEC规则看起来立即怀疑：它不是真实的知名吗？ 实际上，否：我们的逻辑只承认MP从他们遵循的公理和事物。 因此，只有逻辑事实将受到NEC规则的影响，这些事实是必要的：他们要么是所知，要么他们所知道的，因为他们完全没有假设。 （NEC代表“必要”，在本系统中认识到必要的。）

三个Axiom Schemas P，K和T以及推导规则MP和NEC，完成了我们的最小认知模态逻辑。 他们允许我们派生一些基本定理，其中一个是我们将在下一节中使用的一个基本定理：

定理（∧分布）。 k（φ∧ψ）⊃（kφ∧kψ）

（有关证明的技术补充）。 本定理粗略地说，如果您知道一个结合，那么您知道每个都会。 至少，每个结合都是从你所知道的（我将离开这个限定赛，从现在开始隐含），这似乎非常明智。

我们可以证明更有趣的东西吗？ 在这里和那里有一些调整，我们可以派生一些关于我们知识的极限的一些非常引人注目的结果。

4.2知名度悖论（A.K.A.教堂惠田悖论）

真正的一切都知道吗？ 或者是否有一些真理，即使原则上也是如此？ 由惠誉（1963年）普及的着名论点，最初是由于Alonzo Church（Salerno 2009）表示没有：一些真理是不可知的。 因为如果所有真理原则上都是可见的，我们就可以得出所有真相已经熟悉，这将是荒谬的。

该论点需要略微扩展我们的认识逻辑，以适应知识性的概念。 对于我们而言，K表示已知的（或由已知的），而知名性添加了额外的模态层：可以知道什么。 所以我们的语言需要一个句子运营商◊表示形而上学的可能性。 因此，◊φ意味着“它可以确定φ是真实的”。 事实上，◊φ只是¬◻¬φ的短暂，因为什么不一定是假可能是真的。 所以我们实际上可以添加◻，而是假设像K算子一样，它遵守NEC规则。 （与K算子的NEC规则一样，我们可以始终从φ从φ派生◻φ，因为我们只能在φ是逻辑事实的第一个地方导出φ。）◊只是通过定义。

通过这种添加到我们的语言，我们可以派生以下引理（参见推导的技术补充）：

引理（未知数是不可知的）。 ¬◊k（φ∧¬kφ）

这个引理基本上说你无法知道这个种类的事实，“φ是真的，但我不知道这是真的”，这似乎非常明智。 如果您知道这样的联合，第二个结合将是真的，这与您了解第一个与之相反。 （这是∧分布证明有用的地方。）

然而，这种合理的LEMMA几乎可以立即引领一些真理的不知情。 假设对于还原，至少原则上可以知道一切都是真实的。 也就是说，假设我们作为一个公理：

知识无限制

φ⊃◊kφ

然后，我们将能够衍生出几条线，即实际上已知一切都是真实的，即，φ⊃kφ。

1。（φάkφ）⊃◊k（φάςKφ）知识无限制

2。¬（φίλ）1，未知是不可知的，p

3。φ⊃kφ。2，p

如果K代表上帝所知道的，那就没关系。 但如果K代表你或我知道的东西，那似乎荒谬了！ 不仅有真相我们不知道，大多数事实甚至都不遵循我们所知道的。 没有限制的知识似乎是这里的罪魁祸首，所以似乎也有一些我们无法知道的东西，即使原则上也是如此。 但是有关更多讨论，请参阅惠誉的知识悖论。

这是一个动画对模拟，以说明第一个效果。 在这里，我将六位医生的起始物质设置为同样的，甚至在网络中传播：.3，.4，.5，.6，.7和.8。 我也给了它们相同的随机数据序列。 只有网络中的连接是不同的，在这种情况下，它会产生所有差异。 只有周期学习真相。 完整的网络很清早变暗，完全在26次迭代之后完全放弃了新颖的治疗。

示出了两个网络，每个网络，其中六个节点排列在六边形中。 第一个网络已完成：每个节点都有一条将其连接到其他每个节点的行。 第二个网络是一个循环：只有相邻节点通过一行连接。 节点从黑暗中彩色到光; 传奇表明，颜色较浅，博士的信用越高。 在动画的开头时，两个网络中的颜色相同：最暗节点位于9点钟位置，并且节点在六边形周围顺时针亮起。 作为动画播放，节点变暗或更轻，而标记为“epoch”的计数器从零开始，最多可达587.通过epoch 28，第一网络中的节点都变得暗，而且它们停止变化的视频的其余部分。 但第二个网络在整个视频中不断变化。 早期，大多数节点都变得黑暗，并且没有改变，但左下角和其邻居继续波动和变得更加波动。 经过一段时间，虽然他们的邻居开始做同样的事情，并且最终整个第二个网络亮了，动画结束了。

两个具有相同前方的网络遇到相同的证据，但只有一个发现真相。

[视频的替代链接]

节省了循环网络的是从.8凭证开始的医生（左下角）。 他们开始乐观地才能继续继续，在本集团遇到初始令人沮丧的结果之后。 然而，在完整的网络中，他们早些时候收到了如此多的负证据，而他们几乎立即放弃了。 他们众多邻居的负面调查结果不堪重负他们的乐观。 虽然周期将它们暴露在不那么令人沮丧的证据，但随时才能继续尝试新颖的治疗，最终赢得邻居。

作为Rosenstock，Bruner和O'Connor（2017年）所说：有时候较少，在分享科学探究的结果方面就越多。 但这种效果有多重要？ 它有多久存在，并且在实际练习中足够担心？

Rosenstock，Bruner和O'Connor认为，Zollman效果只会折磨着纪念上的“硬”问题。 这只是因为我们的两种治疗之间的差异是如此难以从Zollman效应是一个问题的数据中辨别出来的。 如果新的治疗比旧的更优于旧的待遇，请参见.7成功的机会，而不是在上面想象的

所以Rosenstock，Bruner和O'Connor将模拟与“epsilon”的不同价值重新运行，增加了新待遇的成功概率的增加。 在我们举行epsilon之前，固定在.001 = .501 - .5。 但现在我们会让它变化到.1。 为简单起见，我们只考虑一下这次完整的网络与周期，我们将持有固定的医生数量。（每轮的试验数量持续1,000）。）

显示x轴上的y轴上的y轴上的“真正共识概率”的图表。 有两条曲线分别标记为“循环”和“完整”。 “完整”曲线从0.9以下的概率达到近1.0的概率，因为Epsilon从超过0.000到0.025左右。 “循环”曲线从近0.975的概率从近0.975°的概率从截至0.000秒到0.025以上。 “循环”曲线开始于上面，并且比“完整”曲线更快地升起，但是当EPSILONG HITS 0.025时，它们会转到。

Zollman效果因两种治疗之间的功效差异而消失

观察Zollman效应如何缩小，因为epsilon增长。 事实上，在这些模拟中只能看到大约0.025。

Rosenstock，Bruner和O'Connor还经营其他变体，以表明，如果我们的医学界要大得多，或者每位医生在分享前收集更大的样品，Zollman效果会消失。 它变得非常不太可能会出现一个不合格的样本并阻止整个社区。 因此，自由共享数据没有真正的危害。

那么自然的问题是：真实世界的研究社区多久冒着Zollman效果是真正关注的那种“硬”问题？ Rosenstock，Bruner和O'Connnor承认一些实验室实验发现了类似的效果，其中受试者之间的限制通信导致改善的认知结果。 但他们还强调，ZOLLMAN效应不是“稳健的”，需要相当具体的情况（小埃斯利隆，小型研究界，不是太大的样本尺寸）。 由于上述模型既简单又理想化，则缺乏稳健性应给予我们暂停，他们争辩，关于其在现实世界方案中的适用性。

5.2不信任和极化

让我们现在切换到不同使用这些认知网络模型。 到目前为止，我们的医生更新了彼此的数据，就像它是他们自己一样。 但如果他们互相不信任呢？ 对于那些从自己的意见不同的人来说，它很自然。 毕竟，他们似乎已经在某个地方误入歧途。 即使不是，他们的观点也可能是非法影响他们的研究。

所以也许我们的医生不会以面值分享其他人共享的数据。 假设他们折扣它，尤其是当源的观点与自己的意见很大时。 O'Connor＆WeatherAll（2018）和WeatherAll＆O'Connor（即将举办）探索这种可能性，并发现它可能导致极化。 而不是社会达成共识，社区中的一些医生可能会放弃新的待遇，即使其他人得出结论是优越的。

在下面的一个动画的例子中，蓝色的医生在.5以上的信用，所以他们试验新的治疗，与每个人分享结果。 绿色的医生有信任.5或以下，但仍然是可说的。 他们仍然相信足够的蓝色医生可以更新他们的结果 - 尽管他们折扣这些结果更多的结果与生成它们的医生的意见差异更大。 最后，红色医生完全忽略了结果。 他们到目前为止，他们根本不相信他们的所有蓝色医生。

显示了20个圆圈的集合; 每个圈子代表一个医生的信任。 每个圆圈都限制在水平线上，从左边的信用0.0运行到右侧1.0。 中点0.5由垂直线标记。 最初，圆圈都是绿色或蓝色的。 0.5中点左侧的那些是绿色的，右边的那些是蓝色的。 随着动画播放，圆圈向左或向右滑动。 当一个圆圈交叉向0.5中点的右侧时，它变为蓝色; 当它交叉到左侧时，它会变成绿色。 同时，标有“epoch”的计数器从0开始，计算。 在左左边的一些圆圈之前，变红，表明它们离蓝色圆圈太远，相信它们。 偶尔将左侧移动一个蓝色圆圈并足够接近红色圆圈，再次转动它们绿色。 但随着时间的推移，圆圈分为两组：在右侧的蓝色，左边的红色。 在动画结束时（EPOCH 25），位于右侧的6个蓝色圆圈，朝向左端散射14个红色圆圈，大约为0.0和0.3。 （在大多数情况下，6最终的蓝色圆圈是开始靠近右边的那些。但有一些例外：最后的红色圆圈中的3个甚至比其他最终的其他人更接近右边。）

O'Connor-WeatherAll模型中的极化示例

[视频的替代链接]

在这个模拟中，我们达到了没有更多绿色医生的点，只有红色和高度自信的信徒在蓝色的不可责任怀疑论者。 蓝调已经变得如此自信，它们不太可能对任何红色来说都不太可能接近任何红色来耳朵。 所以我们达到了稳定的极化状态。

这种极化发生的频率是多少？ 这取决于社区的大小，并以“不信任率” 为了对此模型进行编程，我们必须根据对意见的差异，决定医生折扣另一个人的数据。 这种“不信任率”是模型中的可调参数。

以下是这两个因素 - 社区规模和不信任率 - 影响极化的概率。 （请注意，我们只考虑这里的完整网络。）

显示X轴上的y轴上的“极化概率”的图表。 有四个曲线，每个曲线分别为不同数量的代理：2,6,10和20代理。 2代理的曲线从0到0.4的概率到0.4的概率，因为不信任从1.0到2.5。 6代理的曲线从0.9的概率从0.9的概率从1.0到2.5的概率到2.5。 10代理的曲线从0到0.95以上的概率到0.95，因为不信任从1.0到2.5。 20个代理的曲线从0到1.0下方的概率到1.0，因为不信任从1.0到2.5。

极化的概率取决于社区规模和不信任率。

因此，越多的医生倾向于彼此不信任，他们最有可能最终得到极化。 没有惊喜。 但更大的社区也更加偏离偏振。 为什么？

正如O'Connor＆Weatherall的解释，那里的医生就越多，强烈的怀疑论者就越有可能在询问开始时出现：医生凭证远低于.5。 这些医生将倾向于忽视乐观主义者试验新治疗的报告。 所以他们锚定持怀疑态度的人口。

到目前为止，我们已经掩盖了O'Connor＆Weatherall的模型的重要细节。 折扣工作如何，以及医生如何更新贴现证据？ 当X博士报告数据e到y博士时，y并不简单地为E.这意味着他们将X在面值上的报告。 那么他们该怎么办？

为了在新的治疗的优势中计算更新的信用，P'（h），Y取加权平均值（H | H |）和P（H | -E）。 该程序是称为Jeffrey条件化的有条件化的着名变化：

杰弗里的条件化

鉴于现有概率分配P（H |e）和P（H |ee），新的无条件概率分配在学习e时，以确定性P'（e）的水平应该是：

p'（h）= p（h|e）p'（e）+ p（h|¬e）p'（¬e）。

这个公式看起来很像总概率的法则（§1.2.1），但有一个至关重要的差异。 该加权平均值中的重量不是P（e）和p（¬e）。 它们是p'（e）和p'（¬e）。 它们是更新的已折扣概率Y分配给X的报告及其否定。

O'Connor＆WeatherAll（2018）建议计算P'（E）和P'（¬E）的自然配方，我们不会进入这里。 我们只是注意到公式的选择对于极化效果至关重要。 不一定不一定引入极化的可能性; 不信任必须足够强大（上面的图中大于1.0）。 必须有一点代理人根本不会相互信任，因为他们对意见的差异是如此之大。 否则，怀疑论者永远不会完全忽视他们的乐观同事，所以他们最终会被他们的令人鼓舞的报道赢得。

这说明了更新规则的一般问题，如jeffrey条件化：要应用它们，我们首先需要确定要分配给证据的新概率。 从那里我们可以确定其他命题的新概率。 但这一点的输入是我们没有规则的东西; 正式系统中有一种松散的结局，这是模型的用户的东西。 有关这一点的认识论意义的一些讨论，请参阅Field（1978）和Christensen（1992）。

对于不同的正式极化方法，请参阅DORST（2020，其他互联网资源）。 对于网络认识论的其他工作，请参阅社会认识学进入的Zollman（2013）和§4.3以及其中的参考。

社会认识学中的其他正式项目包括社会和个人理性之间的关系（Mayo-Wilson，Zollman和Danks 2011）; 关于判断汇总/意见汇集（Genest和Zidek 1986; List和Pettit 2002; Russell，Hawthorne和Buchak 2015）; 从其他人的信仰学习（Easwaran等，2016; Bradley 2018）; 竞争更新规则的社会效益，如条件化与推理的最佳解释（Douven and Wenmackers 2017; Pettigrew M.S.，其他互联网资源）。

6.在认识学外的应用

概率理论和认知逻辑等工具在许多哲学领域都有许多用途，除了认识论。 在这里，我们将在几个例子中简要介绍：如何做出决策，无论上帝是否存在，以及“如果......然后......”的意思是什么样的假设的话语。

6.1决策理论

如果您继续阅读本节，或者您应该在这里停止，去做别的事吗？ 这一切都取决于：持续阅读可能获得的是什么，而这些收益将超过别的东西的赔率是多少？ 决策理论重视这些考虑因素，以确定哪种选择是最好的。

要了解称重的作品，让我们从一个非常简单的例子开始：投注芯片的结果。 特别是，让我们假设5或6岁会赢得19美元，而其他任何结果都会失去10美元。 你应该参加这个赌注吗？ 我们可以代表您面对表格的选择：